Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8805
2018-07-15 
Груз массой 40 кг поднимают над сваей со скоростью 2 м/с и на высоте 3 м отпускают. Сила сопротивления грунта 7000 Н, масса сваи 200 кг. Если удар груза о сваю абсолютно неупругий, то на какое расстояние при каждом ударе свая погружается в грунт? Определите максимальную частоту ударов о сваю, считая, что каждый раз высота его подъема над сваей одинакова.
Решение:
Выберем нулевой уровень отсчета потенциальной энергии на уровне верха сваи. Энергия груза в момент удара будет только кинетической и равной
$W_{0} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} + mgh = \frac{mv^{2} }{2}$,
где $v$ — скорость груза непосредственно перед ударом,
$v = \sqrt{v_{0}^{2} + 2gh }$. (1)
Удар груза о сваю неупругий, ввиду кратковременности удара сила сопротивления груза не может за время удара заметно изменить импульс системы:
$mv = (m + M)u$,
где $u$ - скорость груза и сваи сразу после удара,
$u = \frac{mv}{m + M}$. (2)
Далее, изменение полной механической энергии сваи вместе с грузом равно работе внешней силы — силы сопротивления грунта:
$\Delta W = A_{сопр}, A_{сопр} = - F_{сопр}s$,
$\Delta W = W_{кон} - W_{нач}$,
где $W_{кон} = - (m + M)gs$ - полная мехгшическая энергия сваи с грузом после остановки, $W_{нач} = \frac{(m + M)u^{2} }{2}$ начальная энергия (кинетическая энергия сразу после удара).
$\Delta W = - (m + M)gs - \frac{(m + M)u^{2} }{2} = - F_{сопр} s$,
$(m + M)gs + \frac{(m + M)u^{2} }{2} = F_{сопр}s^{ \prime}$. (3)
Из соотношений (1) - (3) найдем:
$s = \frac{m^{2}(v_{0}^{2} + 2gh ) }{2(M + m)(F - (m+M)g)}$,
$s = 0,045 м$.
Время между двумя последовательными ударами $t$ складывается из времени подъема груза $\frac{h}{v_{0} }$ и времени падения груза, которое находим как время падения на землю тела, брошенного вертикально вверх со скоростью $v_{0}$ с высоты $h$:
$y - h = v_{0}t - \frac{gt^{2} }{2}$,
в момент падения $y = 0, t_{пад} = \frac{v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} + 2gh } }{g}$. Следовательно,
$t = \frac{h}{v_{0} } + \frac{v_{0} }{g} + \frac{ \sqrt{v_{0}^{2} + 2gh } }{g}$.
Частота ударов
$n = \frac{1}{t}, n = 0,4 с^{-1}$.
Ответ: $s = 0,045 м; n = 0, 4 с^{-1}$.
Груз массой 40 кг поднимают над сваей со скоростью 2 м/с и на высоте 3 м отпускают. Сила сопротивления грунта 7000 Н, масса сваи 200 кг. Если удар груза о сваю абсолютно неупругий, то на какое расстояние при каждом ударе свая погружается в грунт? Определите максимальную частоту ударов о сваю, считая, что каждый раз высота его подъема над сваей одинакова.
Решение:
Выберем нулевой уровень отсчета потенциальной энергии на уровне верха сваи. Энергия груза в момент удара будет только кинетической и равной
$W_{0} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} + mgh = \frac{mv^{2} }{2}$,
где $v$ — скорость груза непосредственно перед ударом,
$v = \sqrt{v_{0}^{2} + 2gh }$. (1)
Удар груза о сваю неупругий, ввиду кратковременности удара сила сопротивления груза не может за время удара заметно изменить импульс системы:
$mv = (m + M)u$,
где $u$ - скорость груза и сваи сразу после удара,
$u = \frac{mv}{m + M}$. (2)
Далее, изменение полной механической энергии сваи вместе с грузом равно работе внешней силы — силы сопротивления грунта:
$\Delta W = A_{сопр}, A_{сопр} = - F_{сопр}s$,
$\Delta W = W_{кон} - W_{нач}$,
где $W_{кон} = - (m + M)gs$ - полная мехгшическая энергия сваи с грузом после остановки, $W_{нач} = \frac{(m + M)u^{2} }{2}$ начальная энергия (кинетическая энергия сразу после удара).
$\Delta W = - (m + M)gs - \frac{(m + M)u^{2} }{2} = - F_{сопр} s$,
$(m + M)gs + \frac{(m + M)u^{2} }{2} = F_{сопр}s^{ \prime}$. (3)
Из соотношений (1) - (3) найдем:
$s = \frac{m^{2}(v_{0}^{2} + 2gh ) }{2(M + m)(F - (m+M)g)}$,
$s = 0,045 м$.
Время между двумя последовательными ударами $t$ складывается из времени подъема груза $\frac{h}{v_{0} }$ и времени падения груза, которое находим как время падения на землю тела, брошенного вертикально вверх со скоростью $v_{0}$ с высоты $h$:
$y - h = v_{0}t - \frac{gt^{2} }{2}$,
в момент падения $y = 0, t_{пад} = \frac{v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} + 2gh } }{g}$. Следовательно,
$t = \frac{h}{v_{0} } + \frac{v_{0} }{g} + \frac{ \sqrt{v_{0}^{2} + 2gh } }{g}$.
Частота ударов
$n = \frac{1}{t}, n = 0,4 с^{-1}$.
Ответ: $s = 0,045 м; n = 0, 4 с^{-1}$.
