Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 880
2016-09-08 
Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием $F = 30 см$ создаёт изображение движущегося точечного источника света. Когда источник света пересекал главную оптическую ось линзы, двигаясь под углом $\alpha = 60^{ \circ}$ к ней, угол между скоростью его изображения и этой осью составлял $\beta = 30^{ \circ}$. На каком расстоянии от линзы в этот момент находился источник света?
Решение:
Введём декартову прямоугольную систему координат, выбрав в качестве начала координат оптический центр $O$ линзы и направив ось $X$ от источника $A$ в сторону центра линзы, а ось $Y$ — перпендикулярно главной оптической оси в плоскости, проходящей через эту ось и вектор скорости источника. Обозначим координаты источника $A$ и его изображения $B$ через $(-a; y_{A})$ и $(b; y_{B})$ соответственно, а компоненты скорости источника и его изображения — через $(v_{Ax}; v_{Ay})$ и $(v_{Bx}; y_{By})$.
Пусть в начальный момент времени $t = 0$, когда источник пересекал главную оптическую ось линзы, $X$ - координаты источника и изображения равнялись $-a_{0}$ и $b_{0}$ соответственно; тогда по формуле тонкой линзы
$\frac{1}{a_{0}} + \frac{1}{b_{0}} = \frac{1}{F}$.
Аналогично, применяя формулу тонкой линзы в момент времени $\Delta t > 0$, имеем:
$\frac{1}{a_{0} - v_{Ax} \Delta t} + \frac{1}{b_{0} + v_{Bx \Delta t}} = \frac{1}{F}$.
Вычитая первую формулу из второй, находим:
$\frac{v_{Ax} \Delta t}{a_{0} (a_{0} - v_{Ax} \Delta t)} = \frac{v_{Bx} \Delta T}{b_{0} (b_{0} + v_{Bx} \Delta t)}$.
Считая $\Delta t$ малым, получаем выражение для отношения $X$-компонент скоростей: $\frac{v_{Ax}}{v_{Bx}} = \frac{a_{0}^{2}}{b_{0}^{2}}$.
Найдём теперь отношение $Y$-компонент скоростей источника и изображения. Учтём, что луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется; следовательно, точки $O, A$ и $B$ всегда лежат на одной прямой, и угловые коэффициенты прямых $OA$ и $OB$ совпадают:
$- \frac{y_{A}}{a} = \frac{y_{B}}{b}$.
В частности, в момент времени $\Delta t$ получаем:
$ - \frac{v_{Ay} \Delta t}{ a_{0} - v_{Ax} \Delta t} = \frac{v_{By} \Delta t}{b_{0} + v_{Bx} \Delta t}$.
Считая $\Delta t$ малым, находим:
$\frac{v_{Ay}}{v_{By}} = - \frac{a_{0}}{b_{0}}$.
Как вытекает из условия задачи,
$\frac{tg \alpha}{ tg \beta} = \left | \frac{v_{Ay}}{v_{Ax}} \cdot \frac{v_{Bx}}{v_{By}} \right | = \frac{|b_{0}|}{a_{0}}$.
Следовательно, $b_{0}= \pm \frac{tg \alpha}{ tg \beta} \cdot \alpha_{0}$. Подставляя данное соотношение в формулу тонкой линзы, находим: $\frac{1}{a_{0}} \pm \frac{tg \beta}{a_{0} tg \alpha} = \frac{1}{F}$ и $a_{0}= F \left ( 1 \pm \frac{tg \beta}{tg \alpha} \right )$. Поскольку $\frac{tg \alpha}{tg \beta} = \frac{1}{3}$, то $a_{0} = \frac{4}{3}F = 40 см$ или $a_{0} = \frac{2}{3}F = 20 см$.
Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием $F = 30 см$ создаёт изображение движущегося точечного источника света. Когда источник света пересекал главную оптическую ось линзы, двигаясь под углом $\alpha = 60^{ \circ}$ к ней, угол между скоростью его изображения и этой осью составлял $\beta = 30^{ \circ}$. На каком расстоянии от линзы в этот момент находился источник света?
Решение:
Введём декартову прямоугольную систему координат, выбрав в качестве начала координат оптический центр $O$ линзы и направив ось $X$ от источника $A$ в сторону центра линзы, а ось $Y$ — перпендикулярно главной оптической оси в плоскости, проходящей через эту ось и вектор скорости источника. Обозначим координаты источника $A$ и его изображения $B$ через $(-a; y_{A})$ и $(b; y_{B})$ соответственно, а компоненты скорости источника и его изображения — через $(v_{Ax}; v_{Ay})$ и $(v_{Bx}; y_{By})$.
Пусть в начальный момент времени $t = 0$, когда источник пересекал главную оптическую ось линзы, $X$ - координаты источника и изображения равнялись $-a_{0}$ и $b_{0}$ соответственно; тогда по формуле тонкой линзы
$\frac{1}{a_{0}} + \frac{1}{b_{0}} = \frac{1}{F}$.
Аналогично, применяя формулу тонкой линзы в момент времени $\Delta t > 0$, имеем:
$\frac{1}{a_{0} - v_{Ax} \Delta t} + \frac{1}{b_{0} + v_{Bx \Delta t}} = \frac{1}{F}$.
Вычитая первую формулу из второй, находим:
$\frac{v_{Ax} \Delta t}{a_{0} (a_{0} - v_{Ax} \Delta t)} = \frac{v_{Bx} \Delta T}{b_{0} (b_{0} + v_{Bx} \Delta t)}$.
Считая $\Delta t$ малым, получаем выражение для отношения $X$-компонент скоростей: $\frac{v_{Ax}}{v_{Bx}} = \frac{a_{0}^{2}}{b_{0}^{2}}$.
Найдём теперь отношение $Y$-компонент скоростей источника и изображения. Учтём, что луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется; следовательно, точки $O, A$ и $B$ всегда лежат на одной прямой, и угловые коэффициенты прямых $OA$ и $OB$ совпадают:
$- \frac{y_{A}}{a} = \frac{y_{B}}{b}$.
В частности, в момент времени $\Delta t$ получаем:
$ - \frac{v_{Ay} \Delta t}{ a_{0} - v_{Ax} \Delta t} = \frac{v_{By} \Delta t}{b_{0} + v_{Bx} \Delta t}$.
Считая $\Delta t$ малым, находим:
$\frac{v_{Ay}}{v_{By}} = - \frac{a_{0}}{b_{0}}$.
Как вытекает из условия задачи,
$\frac{tg \alpha}{ tg \beta} = \left | \frac{v_{Ay}}{v_{Ax}} \cdot \frac{v_{Bx}}{v_{By}} \right | = \frac{|b_{0}|}{a_{0}}$.
Следовательно, $b_{0}= \pm \frac{tg \alpha}{ tg \beta} \cdot \alpha_{0}$. Подставляя данное соотношение в формулу тонкой линзы, находим: $\frac{1}{a_{0}} \pm \frac{tg \beta}{a_{0} tg \alpha} = \frac{1}{F}$ и $a_{0}= F \left ( 1 \pm \frac{tg \beta}{tg \alpha} \right )$. Поскольку $\frac{tg \alpha}{tg \beta} = \frac{1}{3}$, то $a_{0} = \frac{4}{3}F = 40 см$ или $a_{0} = \frac{2}{3}F = 20 см$.
