Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8791
2018-07-15 
Два одинаковых бруска массами 4 кг уравновешены на наклонной плоскости, как показано на рис. Угол $\alpha = 45^{ \circ}$, коэффициент трения между поверхностями брусков и наклонной плоскостью равен 0,05. Какой дополнительный груз массой $m_{x}$ надо положить на один из брусков, чтобы тела начали двигаться с ускорением $g/2$?
Решение:
На тело массой $(m + m_{x}) = m_{1}$ действуют четыре силы (рис.): сила тяжести $\vec{F}_{т1} = m_{1} \vec{g}$, сила нормальной реакции $\vec{N}_{1}$ сила трения $\vec{F}_{тp1}$ и сила натяжения нити $\vec{T}_{1}$. Второй закон Ньютона запишем в виде:
$m_{1} \vec{a}_{1} = m_{1} \vec{g} + \vec{F}_{тр1} + \vec{N}_{1} + \vec{T}_{1}$,
в проекциях на оси $x_{1}$ и $y_{1}$ получаем:
на ось $x_{1} : ma_{1} = m_{1}g \sin \alpha - T_{1} - F_{тр1}$,
на ось $y_{1} : 0 = N_{1} - m_{1}g \cos \alpha$.
$F_{тр1} = \mu N_{1}$.
На второе тело действуют сила тяжести $\vec{F}_{т2} = m \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}_{2}$, сила нормальной реакции $\vec{N}_{2}$, сила трения $\vec{F}_{тр2}$.
Второй закон Ньютона для этого тела имеет вид:
$m \vec{a}_{2} = m \vec{g} + \vec{T}_{2} + \vec{N}_{2} - \vec{F}_{тp2}$,
и в проекции:
на ось $x_{2} : ma_{2} = T_{2} - mg \sin \alpha - T_{1} - F_{тр2}$,
на ось $y_{2} : 0 = N_{2} - mg \cos \alpha$.
$F_{тр2} = \mu N_{2}$.
Так как массами блока и нити можно пренебречь, то $T_{1} = T_{2} = T$, и в силу нерастяжимости нити ускорения тел равны, $a_{1} = a_{2} = a$. Получаем систему уравнений
$\begin{cases} m_{1}a = m_{1}g \sin \alpha - T - \mu m_{1} g \cos \alpha, \\ ma = T - mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha \end{cases}$
Сложив почленно уравнения системы, получим:
$a = \frac{(m_{1} - m ) \sin \alpha - \mu (m_{1} + m ) \cos \alpha }{m_{1} + m }g = \frac{m_{x} \sin \alpha - \mu (2m + m_{x} ) \cos \alpha }{2m + m_{x} }g$,
откуда $m_{x}$ равно:
$m_{x} = \frac{2m(a + \mu g \cos \alpha) }{g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha - a} = 24,4 кг$.
Два одинаковых бруска массами 4 кг уравновешены на наклонной плоскости, как показано на рис. Угол $\alpha = 45^{ \circ}$, коэффициент трения между поверхностями брусков и наклонной плоскостью равен 0,05. Какой дополнительный груз массой $m_{x}$ надо положить на один из брусков, чтобы тела начали двигаться с ускорением $g/2$?
Решение:
На тело массой $(m + m_{x}) = m_{1}$ действуют четыре силы (рис.): сила тяжести $\vec{F}_{т1} = m_{1} \vec{g}$, сила нормальной реакции $\vec{N}_{1}$ сила трения $\vec{F}_{тp1}$ и сила натяжения нити $\vec{T}_{1}$. Второй закон Ньютона запишем в виде:
$m_{1} \vec{a}_{1} = m_{1} \vec{g} + \vec{F}_{тр1} + \vec{N}_{1} + \vec{T}_{1}$,
в проекциях на оси $x_{1}$ и $y_{1}$ получаем:
на ось $x_{1} : ma_{1} = m_{1}g \sin \alpha - T_{1} - F_{тр1}$,
на ось $y_{1} : 0 = N_{1} - m_{1}g \cos \alpha$.
$F_{тр1} = \mu N_{1}$.
На второе тело действуют сила тяжести $\vec{F}_{т2} = m \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}_{2}$, сила нормальной реакции $\vec{N}_{2}$, сила трения $\vec{F}_{тр2}$.
Второй закон Ньютона для этого тела имеет вид:
$m \vec{a}_{2} = m \vec{g} + \vec{T}_{2} + \vec{N}_{2} - \vec{F}_{тp2}$,
и в проекции:
на ось $x_{2} : ma_{2} = T_{2} - mg \sin \alpha - T_{1} - F_{тр2}$,
на ось $y_{2} : 0 = N_{2} - mg \cos \alpha$.
$F_{тр2} = \mu N_{2}$.
Так как массами блока и нити можно пренебречь, то $T_{1} = T_{2} = T$, и в силу нерастяжимости нити ускорения тел равны, $a_{1} = a_{2} = a$. Получаем систему уравнений
$\begin{cases} m_{1}a = m_{1}g \sin \alpha - T - \mu m_{1} g \cos \alpha, \\ ma = T - mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha \end{cases}$
Сложив почленно уравнения системы, получим:
$a = \frac{(m_{1} - m ) \sin \alpha - \mu (m_{1} + m ) \cos \alpha }{m_{1} + m }g = \frac{m_{x} \sin \alpha - \mu (2m + m_{x} ) \cos \alpha }{2m + m_{x} }g$,
откуда $m_{x}$ равно:
$m_{x} = \frac{2m(a + \mu g \cos \alpha) }{g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha - a} = 24,4 кг$.
