Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8790
2018-07-15 
Определите отношение масс грузов, находящихся на двух поверхностях клина в равновесии (рис.). Углы у основания клина $\alpha$ и $\beta$. Коэффициент трения $\mu$.
Решение:
Чтобы определить возможное направление движения, необходим предварительный анализ. Если $m_{1} \sin \alpha < m_{2} \sin \beta$, то если бы трение исчезло, то груз $m_{2}$ опускался бы, а груз $m_{1}$ - поднимался. Теперь можно расставить действующие на систему силы (рис. а). На тело $m_{1}$ действуют четыре силы: сила тяжести $\vec{F}_{т1} = m_{1} \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}_{1}$, сила нормальной реакции $\vec{N}_{1}$ и сила трения $\vec{F}_{тр1}$.
Условие равновесия запишется в виде:
$0 = \vec{T}_{1} + \vec{N}_{1} + m_{1} \vec{g} + \vec{F}_{тр1}$,
в проекции:
на ось $x_{1} : 0 = T_{1} - F_{тр1} - m_{1}g \sin \alpha$,
на ось $y_{1} : 0 = N_{1} - m_{1}g \cos \alpha$,
$F_{тр1} = \mu N_{1} = \mu m_{1} g \cos \alpha$,
$T_{1} = m_{1}g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)$.
На тело $m_{2}$ действуют четыре силы: сила тяжести $\vec{F}_{т2} = m_{2} \vec{g}$, сила нормальной реакции $\vec{N}_{2}$, сила натяжения нити $\vec{T}_{2}$ и сила трения $\vec{F}_{тр2}$. Условие равновесия для $m_{2}$ запишется в виде:
$0 = m_{2} \vec{g} + \vec{N}_{2} + \vec{T}_{2} + \vec{F}_{тр2}$,
и в проекции:
на ось $x_{2} : 0 = T_{2} - m_{2}g \sin \beta + F_{тр2}$,
на ось $y_{2} : 0 = N_{2} - m_{2}g \cos \beta$,
$F_{тр2} = \mu N_{2} = \mu m_{2}g \cos \beta$,
$T_{2} = m_{2}g( \sin \beta - \mu \cos \beta )$.
Так как $T_{1} = T_{2}$, то
$\frac{m_{2} }{m_{1} } = \frac{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}{ \sin \beta - \mu \cos \beta}$
В случае, когда $m_{1} \sin \alpha > m_{2} \sin \beta$, груз $m_{1}$ будет опускаться, a $m_{2}$ - подниматься. Действующие на систему силы изображены на рис. б. Векторные уравнения движения для каждого из грузов, спроецированные на «свою» ось, параллельную соответствующей наклонной плоскости, имеют вид:
$T_{1} + \mu m_{1}g \cos \alpha - m_{1} g \sin \alpha = 0$,
$T_{2} - m_{2}g \sin \beta - g\mu m_{2}g \cos \beta = 0$.
Из условия $T_{1} = T_{2}$, получаем
$m_{1}g( \sin \alpha - g \cos \alpha) = m_{2}g( \sin \beta + \mu \cos \beta )$,
откуда
$\frac{m_{2} }{m_{1} } = \frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \sin \beta + \mu \cos \beta}$.
При решении задачи мы брали $F_{тр. покоя \: max} = \mu N$, но в отсутствие движения сила трения покоя может изменяться от нуля до $F_{тр. покоя \: max}$. Следовательно, грузы могут находится в равновесии при условии
$\frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \sin \beta + \mu \cos \beta} \leq \frac{m_{2} }{m_{1} } \leq \frac{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}{ \sin \beta - \mu \cos \beta}$.
Определите отношение масс грузов, находящихся на двух поверхностях клина в равновесии (рис.). Углы у основания клина $\alpha$ и $\beta$. Коэффициент трения $\mu$.
Решение:
Чтобы определить возможное направление движения, необходим предварительный анализ. Если $m_{1} \sin \alpha < m_{2} \sin \beta$, то если бы трение исчезло, то груз $m_{2}$ опускался бы, а груз $m_{1}$ - поднимался. Теперь можно расставить действующие на систему силы (рис. а). На тело $m_{1}$ действуют четыре силы: сила тяжести $\vec{F}_{т1} = m_{1} \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}_{1}$, сила нормальной реакции $\vec{N}_{1}$ и сила трения $\vec{F}_{тр1}$.
Условие равновесия запишется в виде:
$0 = \vec{T}_{1} + \vec{N}_{1} + m_{1} \vec{g} + \vec{F}_{тр1}$,
в проекции:
на ось $x_{1} : 0 = T_{1} - F_{тр1} - m_{1}g \sin \alpha$,
на ось $y_{1} : 0 = N_{1} - m_{1}g \cos \alpha$,
$F_{тр1} = \mu N_{1} = \mu m_{1} g \cos \alpha$,
$T_{1} = m_{1}g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)$.
На тело $m_{2}$ действуют четыре силы: сила тяжести $\vec{F}_{т2} = m_{2} \vec{g}$, сила нормальной реакции $\vec{N}_{2}$, сила натяжения нити $\vec{T}_{2}$ и сила трения $\vec{F}_{тр2}$. Условие равновесия для $m_{2}$ запишется в виде:
$0 = m_{2} \vec{g} + \vec{N}_{2} + \vec{T}_{2} + \vec{F}_{тр2}$,
и в проекции:
на ось $x_{2} : 0 = T_{2} - m_{2}g \sin \beta + F_{тр2}$,
на ось $y_{2} : 0 = N_{2} - m_{2}g \cos \beta$,
$F_{тр2} = \mu N_{2} = \mu m_{2}g \cos \beta$,
$T_{2} = m_{2}g( \sin \beta - \mu \cos \beta )$.
Так как $T_{1} = T_{2}$, то
$\frac{m_{2} }{m_{1} } = \frac{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}{ \sin \beta - \mu \cos \beta}$
В случае, когда $m_{1} \sin \alpha > m_{2} \sin \beta$, груз $m_{1}$ будет опускаться, a $m_{2}$ - подниматься. Действующие на систему силы изображены на рис. б. Векторные уравнения движения для каждого из грузов, спроецированные на «свою» ось, параллельную соответствующей наклонной плоскости, имеют вид:
$T_{1} + \mu m_{1}g \cos \alpha - m_{1} g \sin \alpha = 0$,
$T_{2} - m_{2}g \sin \beta - g\mu m_{2}g \cos \beta = 0$.
Из условия $T_{1} = T_{2}$, получаем
$m_{1}g( \sin \alpha - g \cos \alpha) = m_{2}g( \sin \beta + \mu \cos \beta )$,
откуда
$\frac{m_{2} }{m_{1} } = \frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \sin \beta + \mu \cos \beta}$.
При решении задачи мы брали $F_{тр. покоя \: max} = \mu N$, но в отсутствие движения сила трения покоя может изменяться от нуля до $F_{тр. покоя \: max}$. Следовательно, грузы могут находится в равновесии при условии
$\frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \sin \beta + \mu \cos \beta} \leq \frac{m_{2} }{m_{1} } \leq \frac{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}{ \sin \beta - \mu \cos \beta}$.
