Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 879
2016-09-08 
Участок гибкого провода массой $m$ подвешен так, что его концы закреплены на одинаковой высоте (см. рисунок). Провод находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией $B$, и по нему течёт ток $I$. Силы, действующие на провод в точках подвеса, образуют угол $\alpha$ с горизонтом. Найдите силу $T$ натяжения провода в его нижней точке. Размеры $L$ и $h$ известны.
Решение:
Обозначим нижнюю точку провода через $A$, верхние точки — через $B$ и $C$ (см. рисунок). Введём в плоскости провода декартову прямоугольную систему координат, направив ось $X$ вправо, ось $Y$ — вверх; обозначим координаты точек $A$ и $C$ как $(x_{A}; y_{A})$ и $(x_{C}; y_{X})$.
Рассмотрим участок провода $AC$. На него действуют направленная вниз сила тяжести $\frac{m \vec{g}}{2}$, направленная влево сила $\vec{T}$ натяжения нити в нижней точке $A$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту сила натяжения нити $\vec{F}$ и сила Ампера $\vec{F}_{магн}$, действующая со стороны магнитного поля. Запишем условие равновесия системы в проекциях на оси $X$ и $Y$:
$F_{x}^{магн} + F \cos \alpha - T = 0, F_{y}^{магн} + F \sin \alpha - \frac{mg}{2} = 0$.
Выражая из второго соотношения неизвестную величину силы $F$ и подставляя её в первое уравнение, находим искомую силу натяжения нити:
$T = F_{x}^{магн} + \left ( \frac{mg}{2} - F_{y}^{магн} \right ) ctg \alpha$.
Для получения ответа остаётся найти компоненты силы Ампера $\vec{F}^{магн}$. Рассмотрим маленький отрезок провода длиной $\Delta l$, составляющий угол $\gamma$ с горизонтом и расположенный между точками с координатами $(x; y)$ и $(x + \Delta x; y + \Delta y)$, где $\Delta x = \Delta l \cdot \cos \gamma, \Delta y = \Delta l \cdot \sin \gamma$ (см. рисунок). На этот участок действует сила Ампера $\Delta \vec{F}^{магн}$, равная по модулю $IB \Delta l$ и направленная под углом $\gamma$ к
вертикали. Эта сила имеет компоненты
$\Delta F_{x}^{магн} = \Delta F^{магн} \sin \gamma = IB \Delta l \sin \gamma = IB \Delta y$; $\Delta F_{y}^{магн} = — \Delta F^{магн} \cos \gamma = - IB \Delta l \cos \gamma = - IB \Delta x$.
Складывая силы Ампера, действующие на все малые отрезки участка $AC$ провода, находим:
$F_{x}^{магн} = IB(y_{C} - y_{A}) = IBh$;
$F_{y}^{магн} = - IB(x_{C} - x_{A}) = - IB \frac{L}{2}$.
Подставляя результат в формулу для силы натяжения провода, приходим к ответу:
$T = IBh + \frac{mg + IBL}{2} ctg \alpha$.
Участок гибкого провода массой $m$ подвешен так, что его концы закреплены на одинаковой высоте (см. рисунок). Провод находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией $B$, и по нему течёт ток $I$. Силы, действующие на провод в точках подвеса, образуют угол $\alpha$ с горизонтом. Найдите силу $T$ натяжения провода в его нижней точке. Размеры $L$ и $h$ известны.
Решение:
Обозначим нижнюю точку провода через $A$, верхние точки — через $B$ и $C$ (см. рисунок). Введём в плоскости провода декартову прямоугольную систему координат, направив ось $X$ вправо, ось $Y$ — вверх; обозначим координаты точек $A$ и $C$ как $(x_{A}; y_{A})$ и $(x_{C}; y_{X})$.
Рассмотрим участок провода $AC$. На него действуют направленная вниз сила тяжести $\frac{m \vec{g}}{2}$, направленная влево сила $\vec{T}$ натяжения нити в нижней точке $A$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту сила натяжения нити $\vec{F}$ и сила Ампера $\vec{F}_{магн}$, действующая со стороны магнитного поля. Запишем условие равновесия системы в проекциях на оси $X$ и $Y$:
$F_{x}^{магн} + F \cos \alpha - T = 0, F_{y}^{магн} + F \sin \alpha - \frac{mg}{2} = 0$.
Выражая из второго соотношения неизвестную величину силы $F$ и подставляя её в первое уравнение, находим искомую силу натяжения нити:
$T = F_{x}^{магн} + \left ( \frac{mg}{2} - F_{y}^{магн} \right ) ctg \alpha$.
Для получения ответа остаётся найти компоненты силы Ампера $\vec{F}^{магн}$. Рассмотрим маленький отрезок провода длиной $\Delta l$, составляющий угол $\gamma$ с горизонтом и расположенный между точками с координатами $(x; y)$ и $(x + \Delta x; y + \Delta y)$, где $\Delta x = \Delta l \cdot \cos \gamma, \Delta y = \Delta l \cdot \sin \gamma$ (см. рисунок). На этот участок действует сила Ампера $\Delta \vec{F}^{магн}$, равная по модулю $IB \Delta l$ и направленная под углом $\gamma$ к
вертикали. Эта сила имеет компоненты
$\Delta F_{x}^{магн} = \Delta F^{магн} \sin \gamma = IB \Delta l \sin \gamma = IB \Delta y$; $\Delta F_{y}^{магн} = — \Delta F^{магн} \cos \gamma = - IB \Delta l \cos \gamma = - IB \Delta x$.
Складывая силы Ампера, действующие на все малые отрезки участка $AC$ провода, находим:
$F_{x}^{магн} = IB(y_{C} - y_{A}) = IBh$;
$F_{y}^{магн} = - IB(x_{C} - x_{A}) = - IB \frac{L}{2}$.
Подставляя результат в формулу для силы натяжения провода, приходим к ответу:
$T = IBh + \frac{mg + IBL}{2} ctg \alpha$.
