Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 878
2016-09-08 
В вершинах правильного $N$-угольника расположены последовательно электрические заряды, величины которых образуют арифметическую прогрессию с разностью $q$ и равны $q, 2q, \cdots , Nq$. Расстояние от центра многоугольника до любой из его вершин равно $R$. Найдите величину напряжённости $E$ электрического поля в центре многоугольника.
Решение:
Пронумеруем вершины многоугольника как $A_{1}, A_{2}, \cdots , A_{N}$ (см. рисунок); тогда в вершине $A_{k}$ находится заряд $kq$. Проведём с исходной системой зарядов 1 следующие преобразования: повернём её на угол $\frac{2 \pi}{N}$ — так, чтобы точка $A_{k}$, перешла в точку $A_{k+1}$, и изменим знаки зарядов — получим систему зарядов 2 (см. рисунок).
Рассмотрим также систему зарядов 3, состоящую из $N$ одинаковых зарядов $—q$, размещённых в вершинах данного многоугольника.
Напряжённость электрического поля в центре многоугольника, создаваемую системой 1, обозначим как $\vec{E}_{1}$, системой 2 — как $\vec{E}_{2}$. Вектор $\vec{E}_{2}$ получается из $\vec{E}_{1}$ поворотом на угол $\frac{2 \pi}{N}$ и изменением направления на противоположное. Система зарядов 3 создаёт в центре многоугольника нулевую напряжённость электрического поля.
Наложим теперь системы зарядов 1, 2 и 3 друг на друга, получив систему зарядов «1+2+3». В ней все заряды, кроме расположенных в точке $A_{1}$, будут скомпенсированы, поэтому система «1+2+3» состоит из одного заряда величиной $-Nq$ в точке $A_{1}$. Система «1+2+3» создаёт в центре многоугольника электрическое поле напряжённостью $| \vec{E}_{1+2+3}| = | \vec{E}_{1+2}| = \frac{Nq}{4 \pi \epsilon_{0}R^{2}}$. С другой стороны, вектор напряжённости $\vec{E}_{1+2}$ можно получить, складывая векторы $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$ по правилу параллелограмма
(см. рисунок). Используя теорему косинусов, находим:
$| \vec{E}_{1+2}|^{2} = | \vec{E}_{1}|^{2} + | \vec{E}_{2}|^{2} - 2 | \vec{E}_{1}| \cdot | \vec{E}_{2}| \cos \frac{2 \pi}{N} = E^{2} + E^{2} - 2E^{2} \cos \frac{2 \pi}{N} = 2E^{2} \left ( 1 - \cos \frac{2 \pi}{N} \right ) = 4E^{2} \sin^{2} \frac{ \pi}{N}$.
Следовательно, $2E \sin \frac{ \pi}{N} = \frac{Nq}{4 \pi \epsilon_{0}R^{2}}$, и $E = \frac{Nq}{8 \pi \epsilon_{0}R^{2} \sin \frac{ \pi}{N}}$.
В вершинах правильного $N$-угольника расположены последовательно электрические заряды, величины которых образуют арифметическую прогрессию с разностью $q$ и равны $q, 2q, \cdots , Nq$. Расстояние от центра многоугольника до любой из его вершин равно $R$. Найдите величину напряжённости $E$ электрического поля в центре многоугольника.
Решение:
Пронумеруем вершины многоугольника как $A_{1}, A_{2}, \cdots , A_{N}$ (см. рисунок); тогда в вершине $A_{k}$ находится заряд $kq$. Проведём с исходной системой зарядов 1 следующие преобразования: повернём её на угол $\frac{2 \pi}{N}$ — так, чтобы точка $A_{k}$, перешла в точку $A_{k+1}$, и изменим знаки зарядов — получим систему зарядов 2 (см. рисунок).
Рассмотрим также систему зарядов 3, состоящую из $N$ одинаковых зарядов $—q$, размещённых в вершинах данного многоугольника.
Напряжённость электрического поля в центре многоугольника, создаваемую системой 1, обозначим как $\vec{E}_{1}$, системой 2 — как $\vec{E}_{2}$. Вектор $\vec{E}_{2}$ получается из $\vec{E}_{1}$ поворотом на угол $\frac{2 \pi}{N}$ и изменением направления на противоположное. Система зарядов 3 создаёт в центре многоугольника нулевую напряжённость электрического поля.
Наложим теперь системы зарядов 1, 2 и 3 друг на друга, получив систему зарядов «1+2+3». В ней все заряды, кроме расположенных в точке $A_{1}$, будут скомпенсированы, поэтому система «1+2+3» состоит из одного заряда величиной $-Nq$ в точке $A_{1}$. Система «1+2+3» создаёт в центре многоугольника электрическое поле напряжённостью $| \vec{E}_{1+2+3}| = | \vec{E}_{1+2}| = \frac{Nq}{4 \pi \epsilon_{0}R^{2}}$. С другой стороны, вектор напряжённости $\vec{E}_{1+2}$ можно получить, складывая векторы $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$ по правилу параллелограмма
(см. рисунок). Используя теорему косинусов, находим:
$| \vec{E}_{1+2}|^{2} = | \vec{E}_{1}|^{2} + | \vec{E}_{2}|^{2} - 2 | \vec{E}_{1}| \cdot | \vec{E}_{2}| \cos \frac{2 \pi}{N} = E^{2} + E^{2} - 2E^{2} \cos \frac{2 \pi}{N} = 2E^{2} \left ( 1 - \cos \frac{2 \pi}{N} \right ) = 4E^{2} \sin^{2} \frac{ \pi}{N}$.
Следовательно, $2E \sin \frac{ \pi}{N} = \frac{Nq}{4 \pi \epsilon_{0}R^{2}}$, и $E = \frac{Nq}{8 \pi \epsilon_{0}R^{2} \sin \frac{ \pi}{N}}$.
