Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 877
2016-09-08 
С порцией гелия проводят циклический процесс, состоящий из изобарного расширения, изохорного охлаждения и адиабатного сжатия. Может ли КПД такого цикла $\eta$ оказаться больше 50%? Чему равен максимально возможный КПД такого цикла?
Решение:
Изобразим цикл, проводимый с $\nu$ молями гелия, на $pV$-диаграмме (см. рисунок): 1-2 — изобара, 2-3 — изохора, 3-1 — адиабата. Пусть $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ — температуры гелия в точках 1, 2 и 3 по термодинамической шкале. Поскольку изобарная теплоёмкость порции гелия, содержащей $\nu$ молей, равна $2,5 \nu R$, гелий на участке 1-2 получает от нагревателя количество теплоты $Q^{+} = 2,5 \nu R(T_{2} — T_{1})$. Изохорная теплоёмкость данной порции гелия равна $1,5 \nu R$, поэтому на участке 2-3 гелий отдаёт холодильнику количество теплоты $Q^{-} = 1,5 \nu R(T_{2} T_{3})$. При адиабатном сжатии температура гелия повышается $(T_{1} > T_{3})$, поэтому $Q^{-} > 1,5 \nu R(T_{2} — T_{1})$.
отсюда $\frac{Q^{-}}{Q_{+}} > \frac{3}{5}$, и $\eta = 1 - \frac{Q^{-}}{Q^{+}} < 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} = 0,4 = 40%$.
Покажем, что к значению КПД $\eta = 40%$ можно приблизиться сколь угодно близко. Пусть температура газа на участке 1-2 возрастает в $n$ раз: $T_{2} = nT_{1}$. Тогда $Q^{+} = 2,5 \nu R(n — 1)T_{1}$, а, поскольку $T_{3} > 0$, то $Q^{-} < 1,5 \nu RT_{2} = 1,5 \nu RnT_{1}$. Тогда
$\eta = 1 - \frac{Q^{-}}{Q^{+}} > 1 - \frac{3}{5} \frac{n}{n-1} = 0,4 - \frac{3}{5(n-1)}$.
Следовательно, выбирая достаточно большое $n$, можно приблизиться к предельному значению $\eta = 40%$ сколь угодно близко.
С порцией гелия проводят циклический процесс, состоящий из изобарного расширения, изохорного охлаждения и адиабатного сжатия. Может ли КПД такого цикла $\eta$ оказаться больше 50%? Чему равен максимально возможный КПД такого цикла?
Решение:
Изобразим цикл, проводимый с $\nu$ молями гелия, на $pV$-диаграмме (см. рисунок): 1-2 — изобара, 2-3 — изохора, 3-1 — адиабата. Пусть $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ — температуры гелия в точках 1, 2 и 3 по термодинамической шкале. Поскольку изобарная теплоёмкость порции гелия, содержащей $\nu$ молей, равна $2,5 \nu R$, гелий на участке 1-2 получает от нагревателя количество теплоты $Q^{+} = 2,5 \nu R(T_{2} — T_{1})$. Изохорная теплоёмкость данной порции гелия равна $1,5 \nu R$, поэтому на участке 2-3 гелий отдаёт холодильнику количество теплоты $Q^{-} = 1,5 \nu R(T_{2} T_{3})$. При адиабатном сжатии температура гелия повышается $(T_{1} > T_{3})$, поэтому $Q^{-} > 1,5 \nu R(T_{2} — T_{1})$.
отсюда $\frac{Q^{-}}{Q_{+}} > \frac{3}{5}$, и $\eta = 1 - \frac{Q^{-}}{Q^{+}} < 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} = 0,4 = 40%$.
Покажем, что к значению КПД $\eta = 40%$ можно приблизиться сколь угодно близко. Пусть температура газа на участке 1-2 возрастает в $n$ раз: $T_{2} = nT_{1}$. Тогда $Q^{+} = 2,5 \nu R(n — 1)T_{1}$, а, поскольку $T_{3} > 0$, то $Q^{-} < 1,5 \nu RT_{2} = 1,5 \nu RnT_{1}$. Тогда
$\eta = 1 - \frac{Q^{-}}{Q^{+}} > 1 - \frac{3}{5} \frac{n}{n-1} = 0,4 - \frac{3}{5(n-1)}$.
Следовательно, выбирая достаточно большое $n$, можно приблизиться к предельному значению $\eta = 40%$ сколь угодно близко.
