Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 875
2016-09-08 
Школьники Вова и Дима собрали электрическую цепь, состоящую из самодельной батареи с ЭДС $\mathcal{E}$, резистора сопротивлением $R = 20 кОм$, конденсатора ёмкостью $C$ и двухпозиционного ключа $K$ (см. схему). Затем они в момент времени $t = 0$ с включили секундомер, замкнули ключ в положение 1 и спустя некоторое время переключили ключ в положение 2. Получившаяся у Вовы и Димы зависимость напряжения и на конденсаторе от времени показана на рисунке. Проанализировав этот график, они смогли определить, чему равны ёмкость конденсатора $C$, ЭДС $\mathcal{E}$ и внутреннее сопротивление $r$ аккумуляторной батареи. Найдите эти значения.
Решение:
Рассмотрим процессы, происходящие в цепи. При замыкании ключа $K$ в положение 1 конденсатор С заряжается через сопротивление $R$ от батареи с некоторой ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, что, очевидно, соответствует участку графика от 0 до 7 с. При переключении ключа в положение 2 происходит постепенная разрядка конденсатора через сопротивление $R$, что видно на участке графика от 7 до 10 с. Запишем уравнения для этих переходных процессов. При зарядке конденсатора
$\mathcal{E} = R \cdot I + r \cdot I + \frac{Q}{C}$.
Очевидно, что в начальный момент времени заряд $Q$ на конденсаторе равен нулю. Потому ток, протекающий через резистор в начальный момент, с одной стороны, равен $I = \frac{ \mathcal{E}}{R + r}$, а с другой стороны, он является скоростью изменения заряда на конденсаторе: $I = \frac{\Delta Q}{ \Delta t} = \frac{ \Delta U}{ \Delta t} C$. Если мы определим угловой коэффициент касательной к графику $U(t)$ в точке $t = 0 с$, то есть начальную скорость роста напряжения на конденсаторе $\frac{ \Delta U}{ \Delta t}$, то сможем найти значение выражения $\frac{ \mathcal{E}}{(R+r)C}$.
Далее, из графика видно, что к моменту времени $t = 7 с$ напряжение на конденсаторе уже почти не меняется, то есть ток очень мал, и можно утверждать, что напряжение на конденсаторе стало практически равно ЭДС батареи $\mathcal{E}$, а заряд на конденсаторе стал равен $\mathcal{E} C$.
После переключения ключа в положение 2 уравнение разрядки конденсатора выглядит так:
$0 = R \cdot I + \frac{Q}{C}$.
Ток, протекающий через резистор в первый момент после переключения ключа, с одной стороны, равен $I = \frac{ \mathcal{E}}{R}$, а с другой стороны, как уже отмечалось, он является скоростью уменьшения заряда на конденсаторе: $I = \frac{ \Delta Q}{ \Delta t} = \frac{ \Delta U}{ \Delta t} C$. Если мы определим величину углового коэффициента касательной к графику разрядки $U(t)$ в точке $t = 7 с$, то есть сразу после переключения ключа в положение 2, то сможем найти значение выражения $\frac{ \mathcal{E}}{RC}$.
Построим обе касательные к графику $U(t)$ и асимптоту, к которой он стремится на этапе зарядки конденсатора. Из этого построения получаем, что ЭДС батареи $\mathcal{E} \approx 27 В$, а величины угловых коэффициентов равны $\frac{ \mathcal{E}}{(R+r)C} \approx 18 В/с$ и $ \frac{ \mathcal{E}}{RC} \approx 27 В/с$. По этим данным далее находим $(R + r)C \approx 1,5 с, RC \approx 1 с$, откуда $C \approx 50 мкФ$ и $r \approx 10 кОм$. Аккумуляторная батарея у школьников получилась очень плохая — видимо, она была собрана из «севших» гальванических элементов.
Заметим, что задачу можно решать и несколько по-другому, если знать, что зарядка и разрядка конденсатора через резистор происходят по экспоненциальному закону. При этом величина разности текущего значения $U(t)$ напряжения на конденсаторе и предельного значения $U(t \rightarrow \infty)$ в конце процесса (то есть $\mathcal{E}$ при зарядке и 0 при разрядке) уменьшается с течением времени по закону $e^{- t / \tau}$, где постоянная времени $\tau$ при зарядке равна $(R + r) \cdot C$, а при разрядке $RC$. Если провести упомянутые выше касательные и асимптоты, то расстояния по времени от точек начала касательных до точек их пересечения с асимптотами будут равны соответствующим постоянным времени $\tau$, что позволяет сразу же найти из построения величины Е$\mathcal{E} \approx 27 В, \tau_{1} = (R + r) \cdot C \approx 1,5 с$ и $\tau_{2} = R \cdot C \approx 1 с$, и далее $C$ и $r$. Из построения видно также, что спустя время $\tau$ после начала процесса зарядки или разрядки конденсатора разность текущего и конечного значения напряжения уменьшается по величине в $e \approx 2,7$ раза по сравнению с начальным её значением, то есть от 27 В до 10 В.
Школьники Вова и Дима собрали электрическую цепь, состоящую из самодельной батареи с ЭДС $\mathcal{E}$, резистора сопротивлением $R = 20 кОм$, конденсатора ёмкостью $C$ и двухпозиционного ключа $K$ (см. схему). Затем они в момент времени $t = 0$ с включили секундомер, замкнули ключ в положение 1 и спустя некоторое время переключили ключ в положение 2. Получившаяся у Вовы и Димы зависимость напряжения и на конденсаторе от времени показана на рисунке. Проанализировав этот график, они смогли определить, чему равны ёмкость конденсатора $C$, ЭДС $\mathcal{E}$ и внутреннее сопротивление $r$ аккумуляторной батареи. Найдите эти значения.
Решение:
Рассмотрим процессы, происходящие в цепи. При замыкании ключа $K$ в положение 1 конденсатор С заряжается через сопротивление $R$ от батареи с некоторой ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, что, очевидно, соответствует участку графика от 0 до 7 с. При переключении ключа в положение 2 происходит постепенная разрядка конденсатора через сопротивление $R$, что видно на участке графика от 7 до 10 с. Запишем уравнения для этих переходных процессов. При зарядке конденсатора
$\mathcal{E} = R \cdot I + r \cdot I + \frac{Q}{C}$.
Очевидно, что в начальный момент времени заряд $Q$ на конденсаторе равен нулю. Потому ток, протекающий через резистор в начальный момент, с одной стороны, равен $I = \frac{ \mathcal{E}}{R + r}$, а с другой стороны, он является скоростью изменения заряда на конденсаторе: $I = \frac{\Delta Q}{ \Delta t} = \frac{ \Delta U}{ \Delta t} C$. Если мы определим угловой коэффициент касательной к графику $U(t)$ в точке $t = 0 с$, то есть начальную скорость роста напряжения на конденсаторе $\frac{ \Delta U}{ \Delta t}$, то сможем найти значение выражения $\frac{ \mathcal{E}}{(R+r)C}$.
Далее, из графика видно, что к моменту времени $t = 7 с$ напряжение на конденсаторе уже почти не меняется, то есть ток очень мал, и можно утверждать, что напряжение на конденсаторе стало практически равно ЭДС батареи $\mathcal{E}$, а заряд на конденсаторе стал равен $\mathcal{E} C$.
После переключения ключа в положение 2 уравнение разрядки конденсатора выглядит так:
$0 = R \cdot I + \frac{Q}{C}$.
Ток, протекающий через резистор в первый момент после переключения ключа, с одной стороны, равен $I = \frac{ \mathcal{E}}{R}$, а с другой стороны, как уже отмечалось, он является скоростью уменьшения заряда на конденсаторе: $I = \frac{ \Delta Q}{ \Delta t} = \frac{ \Delta U}{ \Delta t} C$. Если мы определим величину углового коэффициента касательной к графику разрядки $U(t)$ в точке $t = 7 с$, то есть сразу после переключения ключа в положение 2, то сможем найти значение выражения $\frac{ \mathcal{E}}{RC}$.
Построим обе касательные к графику $U(t)$ и асимптоту, к которой он стремится на этапе зарядки конденсатора. Из этого построения получаем, что ЭДС батареи $\mathcal{E} \approx 27 В$, а величины угловых коэффициентов равны $\frac{ \mathcal{E}}{(R+r)C} \approx 18 В/с$ и $ \frac{ \mathcal{E}}{RC} \approx 27 В/с$. По этим данным далее находим $(R + r)C \approx 1,5 с, RC \approx 1 с$, откуда $C \approx 50 мкФ$ и $r \approx 10 кОм$. Аккумуляторная батарея у школьников получилась очень плохая — видимо, она была собрана из «севших» гальванических элементов.
Заметим, что задачу можно решать и несколько по-другому, если знать, что зарядка и разрядка конденсатора через резистор происходят по экспоненциальному закону. При этом величина разности текущего значения $U(t)$ напряжения на конденсаторе и предельного значения $U(t \rightarrow \infty)$ в конце процесса (то есть $\mathcal{E}$ при зарядке и 0 при разрядке) уменьшается с течением времени по закону $e^{- t / \tau}$, где постоянная времени $\tau$ при зарядке равна $(R + r) \cdot C$, а при разрядке $RC$. Если провести упомянутые выше касательные и асимптоты, то расстояния по времени от точек начала касательных до точек их пересечения с асимптотами будут равны соответствующим постоянным времени $\tau$, что позволяет сразу же найти из построения величины Е$\mathcal{E} \approx 27 В, \tau_{1} = (R + r) \cdot C \approx 1,5 с$ и $\tau_{2} = R \cdot C \approx 1 с$, и далее $C$ и $r$. Из построения видно также, что спустя время $\tau$ после начала процесса зарядки или разрядки конденсатора разность текущего и конечного значения напряжения уменьшается по величине в $e \approx 2,7$ раза по сравнению с начальным её значением, то есть от 27 В до 10 В.
