2016-09-08
В вершинах правильного $N$-угольника расположены последовательно электрические заряды, величины которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2 и равны $q, 2q, \cdots , 2^{N-1}q$. Расстояние от центра многоугольника до любой из его вершин равно $R$. Найдите величину $E$ напряжённости электрического поля в центре многоугольника.
Решение:
Пронумеруем вершины многоугольника как $A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{N-1}$; тогда в вершине $A_{k}$ находится заряд $2^{k}q$. Проведём с исходной системой зарядов 1 следующие преобразования: повернём её на угол $\frac{2 \pi}{N}$ так, чтобы заряд из точки $A_{k}$ перешёл в точку $A_{k+1}$; увеличим величины зарядов в два раза и изменим их знаки - получим систему зарядов 2 (см. рисунок).
Напряжённость электрического поля в центре многоугольника, создаваемую системой 1, обозначим как $\vec{E_{1}}$, системой 2 — как $\vec{E_{2}}$. Вектор $\vec{E_{2}}$ получается из $\vec{E_{1}}$ поворотом на угол $\frac{2 \pi}{N}$, растяжением в два раза и изменением направления на противоположное.
Наложим теперь системы зарядов 1 и 2 друг на друга, получив систему зарядов «1+2». Все заряды, кроме расположенных в точке $A_{0}$, будут компенсированы, поэтому система «1+2» состоит из одного заряда величиной $-q(2^{N} - 1)$. Следовательно, система «1+2» создаёт в центре многоугольника электрическое поле с величиной напряжённости $|\vec{E}_{1+2}| = \frac{q (2^{N} - 1)}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}}$. С другой стороны, вектор напряжённости $\vec{E}_{1+2}$ можно получить, складывая векторы $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$ по правилу параллелограмма, как показано на рисунке. Используя теорему косинусов,
находим:
$|\vec{E}_{1+2}|^{2} = | \vec{E}_{1}|^{2} + | \vec{E}_{2}|^{2} — 2 | \vec{E}_{1}| \cdot | \vec{E}_{2}| \cdot \cos \frac{2 \pi}{N} = E^{2} + 4E^{2} - 4E^{2} \cos \frac{2 \pi}{ N} = E^{2} \left ( 5 - 4 \cos \frac{2 \pi}{N} \right )$.
Следовательно,
$E \sqrt{ 5 - 4 \cos \frac{2 - pi}{N}} = \frac{q(2^{N}-1)}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}}, E = \frac{q (2^{N} -1)}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2} \sqrt{ 5 - 4 \cos \frac{2 \pi}{N} }}$.