Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 872
2016-09-08 
Небольшой груз массой $m$, привязанный нитью длиной $l$ к платформе (см. рисунок), движется по гладкой поверхности стола со скоростью $v$, описывая окружность. Нить невесома и нерастяжима и образует угол $\alpha$ с вертикалью. Платформа начинает двигаться вверх с ускорением $\vec{a}$; при этом вначале груз не отрывается от стола. Найдите величины действующих на груз сил натяжения нити $T$ и реакции стола $N$ сразу после начала движения платформы.
Решение:
Пусть $a_{1}$ — составляющая ускорения груза, направленная к центру окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальное и горизонтальное направления в вертикальной плоскости, проходящей через нить:
$T \cos \alpha - mg + N = 0, T \sin \alpha = ma_{1}$.
Отсюда
$T = \frac{ma_{1}}{ \sin \alpha}, N = mg - ma_{1} ctg \alpha$.
Для получения ответа остаётся найти величину $a_{1}$. Поместим начало прямоугольной системы координат в центр окружности, по которой движется груз (см. рисунок). Обозначим через $\vec{r_{1}}$ радиус-вектор конца нити, прикреплённого к грузу, $\vec{r_{2}}$ — радиус-вектор конца нити, прикреплённого к платформе, $\vec{v_{1}}$ и $\vec{v_{2}}$ — скорости концов нити, $\vec{a_{1}}$ и $\vec{a_{2}}$ — ускорения концов нити. Введём также обозначения для относительных величин: $\vec{R} = \vec{r_{1}} — \vec{r_{2}}$ (модуль этой величины равен длине нити), $\vec{V} = \vec{v_{1}} - \vec{v_{2}}$ (скорость груза относительно верхнего конца нити), $\vec{A} = \vec{a_{1}} — \vec{a_{2}}$. Заметим, что
$\frac{ \Delta \vec{V}}{ \Delta t} = \frac{ \Delta \vec{v_{1}}}{ \Delta t} - \frac{ \Delta \vec{v_{2}}}{ \Delta t} = \vec{a_{1}} - \vec{a_{2}} = \vec{A}$.
Так как нить нерастяжима и в процессе движения груза всё время натянута, то скорость груза относительно верхнего конца нити всегда направлена перпендикулярно нити. Это означает, что скалярное произведение $\vec{R} \cdot \vec{V} = 0$.
Пусть за малое время $\Delta t$ векторы $\vec{R}$ и $\vec{V}$ получили малые приращения $\Delta \vec{R}$ и $\Delta \vec{V}$. Запишем для момента времени $t + \Delta t$ полученное выше условие перпендикулярности:
$(\vec{R} + \Delta \vec{R}) \cdot (\vec{V} + \Delta \vec{V}) = 0$.
Раскрывая скобки, пренебрегая малой величиной $\Delta \vec{R} \cdot \Delta \vec{V}$ и деля обе части на $\Delta t$, с учётом того, что $\vec{R} \cdot \vec{V} = 0$,
получим:
$\vec{V} \cdot \vec{V} = v^{2}, \vec{R} \cdot \vec{A} = \vec{R} \cdot \vec{a_{1}} - \vec{R} \cdot \vec{a_{2}} = -la_{1} \cdot \sin \alpha + la \cdot \cos \alpha = 0$.
Сразу после начала движения платформы $\vec{v_{1}} = \vec{v}, \vec{v_{2}} = 0$ и
$\vec{V} \cdot \vec{V} = v^{2}, \vec{R} \cdot \vec{A} = \vec{R} \cdot \vec{a_{1}} - \vec{R} \cdot \vec{a_{2}} = —la_{1} \cdot \sin \alpha + la \cdot \cos \alpha$.
Следовательно, $v^{2} — la_{1} \cdot \sin \alpha + la \cdot \cos \alpha = 0$, и $a_{1} = a \cdot ctg \alpha + \frac{v^{2}}{l \cdot \sin \alpha}$. Подставляя найденное ускорение $a_{1}$ в полученные выше формулы для сил, приходим к ответу:
$T = \frac{ma \cdot ctg \alpha}{ \sin \alpha} + \frac{mv^{2}}{l \sin^{2} \alpha}, N = mg - ma \cdot ctg^{2} \alpha - \frac{mv^{2} ctg \alpha}{l \sin \alpha}$.
Небольшой груз массой $m$, привязанный нитью длиной $l$ к платформе (см. рисунок), движется по гладкой поверхности стола со скоростью $v$, описывая окружность. Нить невесома и нерастяжима и образует угол $\alpha$ с вертикалью. Платформа начинает двигаться вверх с ускорением $\vec{a}$; при этом вначале груз не отрывается от стола. Найдите величины действующих на груз сил натяжения нити $T$ и реакции стола $N$ сразу после начала движения платформы.
Решение:
Пусть $a_{1}$ — составляющая ускорения груза, направленная к центру окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальное и горизонтальное направления в вертикальной плоскости, проходящей через нить:
$T \cos \alpha - mg + N = 0, T \sin \alpha = ma_{1}$.
Отсюда
$T = \frac{ma_{1}}{ \sin \alpha}, N = mg - ma_{1} ctg \alpha$.
Для получения ответа остаётся найти величину $a_{1}$. Поместим начало прямоугольной системы координат в центр окружности, по которой движется груз (см. рисунок). Обозначим через $\vec{r_{1}}$ радиус-вектор конца нити, прикреплённого к грузу, $\vec{r_{2}}$ — радиус-вектор конца нити, прикреплённого к платформе, $\vec{v_{1}}$ и $\vec{v_{2}}$ — скорости концов нити, $\vec{a_{1}}$ и $\vec{a_{2}}$ — ускорения концов нити. Введём также обозначения для относительных величин: $\vec{R} = \vec{r_{1}} — \vec{r_{2}}$ (модуль этой величины равен длине нити), $\vec{V} = \vec{v_{1}} - \vec{v_{2}}$ (скорость груза относительно верхнего конца нити), $\vec{A} = \vec{a_{1}} — \vec{a_{2}}$. Заметим, что
$\frac{ \Delta \vec{V}}{ \Delta t} = \frac{ \Delta \vec{v_{1}}}{ \Delta t} - \frac{ \Delta \vec{v_{2}}}{ \Delta t} = \vec{a_{1}} - \vec{a_{2}} = \vec{A}$.
Так как нить нерастяжима и в процессе движения груза всё время натянута, то скорость груза относительно верхнего конца нити всегда направлена перпендикулярно нити. Это означает, что скалярное произведение $\vec{R} \cdot \vec{V} = 0$.
Пусть за малое время $\Delta t$ векторы $\vec{R}$ и $\vec{V}$ получили малые приращения $\Delta \vec{R}$ и $\Delta \vec{V}$. Запишем для момента времени $t + \Delta t$ полученное выше условие перпендикулярности:
$(\vec{R} + \Delta \vec{R}) \cdot (\vec{V} + \Delta \vec{V}) = 0$.
Раскрывая скобки, пренебрегая малой величиной $\Delta \vec{R} \cdot \Delta \vec{V}$ и деля обе части на $\Delta t$, с учётом того, что $\vec{R} \cdot \vec{V} = 0$,
получим:
$\vec{V} \cdot \vec{V} = v^{2}, \vec{R} \cdot \vec{A} = \vec{R} \cdot \vec{a_{1}} - \vec{R} \cdot \vec{a_{2}} = -la_{1} \cdot \sin \alpha + la \cdot \cos \alpha = 0$.
Сразу после начала движения платформы $\vec{v_{1}} = \vec{v}, \vec{v_{2}} = 0$ и
$\vec{V} \cdot \vec{V} = v^{2}, \vec{R} \cdot \vec{A} = \vec{R} \cdot \vec{a_{1}} - \vec{R} \cdot \vec{a_{2}} = —la_{1} \cdot \sin \alpha + la \cdot \cos \alpha$.
Следовательно, $v^{2} — la_{1} \cdot \sin \alpha + la \cdot \cos \alpha = 0$, и $a_{1} = a \cdot ctg \alpha + \frac{v^{2}}{l \cdot \sin \alpha}$. Подставляя найденное ускорение $a_{1}$ в полученные выше формулы для сил, приходим к ответу:
$T = \frac{ma \cdot ctg \alpha}{ \sin \alpha} + \frac{mv^{2}}{l \sin^{2} \alpha}, N = mg - ma \cdot ctg^{2} \alpha - \frac{mv^{2} ctg \alpha}{l \sin \alpha}$.
