2016-09-08
Школьник бежит по окружности радиусом $R = 30 м$ с постоянной по величине скоростью $u = 3,14 м/с$. Второй школьник гонится за ним, стартовав из центра окружности. В процессе погони он всё время находится на радиусе, соединяющем центр окружности и первого школьника, а величина его скорости неизменна и равна $v = 2u$. Сколько времени займёт погоня?
Решение:
Обозначим через $\omega = u/R$ угловую скорость движения первого школьника, $r$ — расстояние от второго школьника до центра, $\phi$ — угол между направлением скорости второго школьника и радиусом (см. рисунок).
Поскольку составляющая скорости второго школьника, перпендикулярная радиусу, равна $\omega r$, а модуль его скорости равен $v = 2u = 2 \omega R$, имеем:
$\sin \phi = \frac{ \omega r}{2 \omega R} = \frac{r}{2R}$.
Следовательно, в процессе погони угол $\phi$ изменяется от начального значения, равного нулю, до конечного значения, равного $\phi_{0} = arcsin \frac{1}{2} = \frac{ \pi}{6}$.
Найдём промежуток времени $\Delta t$, за который угол $\phi$ изменяется на некоторую малую величину $\Delta \phi$. Для этого заметим, что за данный промежуток времени второй школьник удаляется от центра окружности на расстояние
$\Delta r =2R \cdot \Delta ( \sin \phi) = 2R ( \sin ( \phi + \Delta phi) - \sin \phi) = 2R \cdot 2 \cos \left ( \phi + \frac{ \Delta \phi}{2} \right ) \sin \frac{ \Delta \phi}{2}$
Учтём, что синус малого угла приближённо равен его радианной мере:
$\Delta r \approx 2R \cdot 2 \cos \phi \cdot \frac{ \Delta \phi}{2} = 2R \cos \phi \cdot \Delta \phi$.
Поскольку радиальная составляющая скорости второго школьника равна $2 \omega R \cos \phi$, он удалится от центра окружности на расстояние $\Delta r$ за время
$\Delta t = \frac{ \Delta r}{ 2 \omega R \cos \phi} = \frac{2R \cos \phi \cdot \Delta \phi}{2 \omega R \cos \phi} = \frac{ \Delta \phi}{ \omega}$
пропорциональное изменению угла.
Следовательно, время, которое займёт погоня, составит
$t = \frac{ \phi_{0}}{ \omega} = \frac{ \pi}{ 6 \omega} = \frac{ \pi R}{6u} = 5 с$