Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8681
2018-07-08 
Радиоизотоп $A_{1}$ испытывает превращения по цепочке $A_{1} \rightarrow A_{2} \rightarrow A_{3}$ (стабилен) с соответствующими постоянными распада $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Считая, что в начальный момент препарат содержал только ядра изотопа $A_{1}$ в количестве $N_{10}$, найти закон накопления стабильного изотопа $A_{3}$.
Решение:
Здесь мы имеем уравнения
$\frac{dN_{1} }{dt} = - \lambda_{1}N_{1}$
$\frac{dN_{1} }{dt} = \lambda_{1}N_{1} - \lambda_{2}N_{2}$ и $\frac{dN_{3} }{dt} = \lambda_{2}N_{2}$
Из задачи 8679
$N_{1} = N_{10}e^{ - \lambda_{1} t }$
$N_{2} = \frac{ \lambda_{1}N_{10} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } (e^{ - \lambda_{2}t } - e^{ - \lambda_{1}t } )$
Тогда $\frac{dN_{3}}{dt} = \frac{ \lambda_{1} \lambda_{2} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } N_{10} (e^{ - \lambda_{2}t } - e^{ - \lambda_{1}t } )$
или $N_{3} = const - \frac{ \lambda_{1} \lambda_{2} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } \left ( \frac{ e^{ - \lambda_{2}t } }{ \lambda_{2} } - \frac{e^{ - \lambda_{1}t } }{ \lambda_{1} } \right ) N_{10}$
поскольку $N_{3} = 0$ изначально
$const = \frac{ \lambda_{1} \lambda_{2} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } N_{10} \left ( \frac{ 1 }{ \lambda_{2} } - \frac{ 1 }{ \lambda_{1} } \right )$
Итак $N_{3} = \frac{ \lambda_{1} \lambda_{2}N_{10} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } \left ( \frac{ 1 }{ \lambda_{2} }(1 - e^{- \lambda_{2}t } ) - \frac{ 1 }{ \lambda_{1} } (1 - e^{ - \lambda_{1} t } ) \right ) = N_{10} \left ( 1 + \frac{ \lambda_{1} e^{ - \lambda_{2}t } - \lambda_{2}e^{ - \lambda_{2}t } }{ \lambda_{2} - \lambda_{1} } \right )$
Радиоизотоп $A_{1}$ испытывает превращения по цепочке $A_{1} \rightarrow A_{2} \rightarrow A_{3}$ (стабилен) с соответствующими постоянными распада $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Считая, что в начальный момент препарат содержал только ядра изотопа $A_{1}$ в количестве $N_{10}$, найти закон накопления стабильного изотопа $A_{3}$.
Решение:
Здесь мы имеем уравнения
$\frac{dN_{1} }{dt} = - \lambda_{1}N_{1}$
$\frac{dN_{1} }{dt} = \lambda_{1}N_{1} - \lambda_{2}N_{2}$ и $\frac{dN_{3} }{dt} = \lambda_{2}N_{2}$
Из задачи 8679
$N_{1} = N_{10}e^{ - \lambda_{1} t }$
$N_{2} = \frac{ \lambda_{1}N_{10} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } (e^{ - \lambda_{2}t } - e^{ - \lambda_{1}t } )$
Тогда $\frac{dN_{3}}{dt} = \frac{ \lambda_{1} \lambda_{2} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } N_{10} (e^{ - \lambda_{2}t } - e^{ - \lambda_{1}t } )$
или $N_{3} = const - \frac{ \lambda_{1} \lambda_{2} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } \left ( \frac{ e^{ - \lambda_{2}t } }{ \lambda_{2} } - \frac{e^{ - \lambda_{1}t } }{ \lambda_{1} } \right ) N_{10}$
поскольку $N_{3} = 0$ изначально
$const = \frac{ \lambda_{1} \lambda_{2} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } N_{10} \left ( \frac{ 1 }{ \lambda_{2} } - \frac{ 1 }{ \lambda_{1} } \right )$
Итак $N_{3} = \frac{ \lambda_{1} \lambda_{2}N_{10} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } \left ( \frac{ 1 }{ \lambda_{2} }(1 - e^{- \lambda_{2}t } ) - \frac{ 1 }{ \lambda_{1} } (1 - e^{ - \lambda_{1} t } ) \right ) = N_{10} \left ( 1 + \frac{ \lambda_{1} e^{ - \lambda_{2}t } - \lambda_{2}e^{ - \lambda_{2}t } }{ \lambda_{2} - \lambda_{1} } \right )$
