Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 868
2016-09-08 
Тонкий карандаш, подвешенный на нитке за один из концов, начинают погружать в воду, медленно опуская точку подвеса (см. рисунок). Определите максимальную глубину $h$ погружения нижнего конца карандаша, если длина карандаша $l = 18 см$, а его средняя плотность в $n = 2$ раза меньше плотности воды.
Решение:
Рассмотрим карандаш, погруженный в воду и отклонённый от вертикали на малый угол $\alpha$. Суммарный момент сил тяжести и Архимеда относительно горизонтальной оси, проходящей через верхний конец карандаша, равен
$M = mg \frac{l}{2} \sin \alpha - F_{A} \left ( l - \frac{x}{2} \right ) \sin \alpha$,
где $F_{A} = \rho g Sx$ - сила Архимеда, $\rho$ — плотность воды, $S$ — площадь поперечного сечения карандаша, $x$ — длина погруженной в воду части карандаша, $m = ( \rho/ n) Sl$ — масса карандаша. При $M > 0$ момент сил возвращает карандаш в вертикальное положение, при $M < 0$ увеличивает отклонение карандаша от вертикали. Формулу для момента сил можно переписать в виде:
$M \left ( x^{2} - 2lx + \frac{l^{2}}{n} \right ) \frac{ \rho gS}{2} \sin \alpha$.
Из этой формулы следует, что при малых $x$ момент $M > 0$ и, следовательно, вертикальное положение карандаша будет устойчивым. Потеря устойчивости вертикального положения происходит при
$x = l \left ( 1 - \sqrt{ 1 - \frac{1}{n}} \right )$,
когда момент сил меняет знак с положительного на отрицательный. При дальнейшем погружении карандаша он будет отклоняться от вертикали, но длина $x$ погруженной в воду его части меняться не будет, поскольку в равновесии момент сил $M$ должен оставаться равным нулю. Поэтому глубина погружения нижнего конца карандаша, равная $x \cos \alpha$, будет при этом уменьшаться. Итак, максимальная глубина погружения нижнего конца карандаша равна
$h = \left ( 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{n}} \right ) = l \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{2} \right ) \approx 5,3 см$.
Тонкий карандаш, подвешенный на нитке за один из концов, начинают погружать в воду, медленно опуская точку подвеса (см. рисунок). Определите максимальную глубину $h$ погружения нижнего конца карандаша, если длина карандаша $l = 18 см$, а его средняя плотность в $n = 2$ раза меньше плотности воды.
Решение:
Рассмотрим карандаш, погруженный в воду и отклонённый от вертикали на малый угол $\alpha$. Суммарный момент сил тяжести и Архимеда относительно горизонтальной оси, проходящей через верхний конец карандаша, равен
$M = mg \frac{l}{2} \sin \alpha - F_{A} \left ( l - \frac{x}{2} \right ) \sin \alpha$,
где $F_{A} = \rho g Sx$ - сила Архимеда, $\rho$ — плотность воды, $S$ — площадь поперечного сечения карандаша, $x$ — длина погруженной в воду части карандаша, $m = ( \rho/ n) Sl$ — масса карандаша. При $M > 0$ момент сил возвращает карандаш в вертикальное положение, при $M < 0$ увеличивает отклонение карандаша от вертикали. Формулу для момента сил можно переписать в виде:
$M \left ( x^{2} - 2lx + \frac{l^{2}}{n} \right ) \frac{ \rho gS}{2} \sin \alpha$.
Из этой формулы следует, что при малых $x$ момент $M > 0$ и, следовательно, вертикальное положение карандаша будет устойчивым. Потеря устойчивости вертикального положения происходит при
$x = l \left ( 1 - \sqrt{ 1 - \frac{1}{n}} \right )$,
когда момент сил меняет знак с положительного на отрицательный. При дальнейшем погружении карандаша он будет отклоняться от вертикали, но длина $x$ погруженной в воду его части меняться не будет, поскольку в равновесии момент сил $M$ должен оставаться равным нулю. Поэтому глубина погружения нижнего конца карандаша, равная $x \cos \alpha$, будет при этом уменьшаться. Итак, максимальная глубина погружения нижнего конца карандаша равна
$h = \left ( 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{n}} \right ) = l \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{2} \right ) \approx 5,3 см$.
