ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-08   
Радиоизотоп $A_{1}$ с постоянной распада $\lambda_{1}$ превращается в радиоизотоп $A_{2}$ с постоянной распада $\lambda_{2}$. Считая, что в начальный момент препарат содержал только ядра изотопа $A_{1}$, найти:
а) закон накопления радиоизотопа $A_{2}$ со временем;
б) промежуток времени, через который активность радиоизотопа $A_{2}$ достигнет максимума.


Решение:


(а) Предположим, что $N_{1}$ и $N_{2}$ - число двух радионуклидов, $A_{1}, A_{2}$ в момент времени $t$. Тогда

$\frac{dN_{1}}{dt} = - \lambda_{1}N_{1}$ (1)
$\frac{dN_{2}}{dt} = \lambda_{1} N_{1} - \lambda_{2}N_{2}$ (2)

Из (1) $N_{1} = N_{10} e^{ - \lambda_{1}t }$

где $N_{10}$ - начальное число нуклидов $A_{1}$ в момент времени $t = 0$.

Из (2)

$\left ( \frac{dN_{2} }{dt} + \lambda_{2}N_{2} \right ) e^{ \lambda_{2}t } = \lambda_{1} N_{10} e^{ - ( \lambda_{1} - \lambda_{2} )t }$

или $(N_{2} e^{ \lambda_{2} t } ) = const \frac{ \lambda_{1}N_{10} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } e^{ - ( \lambda_{1} - \lambda_{2} )t }$

так как $N_{2} = 0$ при $t = 0$

Постоянная $N_{2} = \frac{ \lambda_{1}N_{10} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} }$

Таким образом, $= \frac{ \lambda_{1}N_{10} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } (e^{ - \lambda_{2}t } - e^{ - \lambda_{1}t } )$

(б) Активность нуклида $A_{2}$ равна $\lambda_{2}N_{2}$. Она максимальная, когда $N_{2}$ является максимальным. Это происходит когда $\frac{dN_{2}}{dt} = 0$

Это требует $\lambda_{2} e^{ - \lambda_{2} t_{m} } = \lambda_{1}e^{- \lambda_{1}t_{m} }$

или $t_{m} = \frac{ln( \lambda_{1} / \lambda_{2} ) }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} }$