ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-08   
Радиоизотоп $P^{32}$, период полураспада которого $T = 14,3 сут$, образуется в ядерном реакторе с постоянной скоростью $q = 2,7 \cdot 10^{9} ядер/с$. Через сколько времени после начала образования этого радиоизотопа его активность станет $A = 1,0 \cdot 10^{9} расп./с$?


Решение:


Образование ядра определяется уравнением

$\frac{dN}{dt} = g - \lambda N$

Мы видим, что $N$ будет приближаться к постоянному значению $\frac{g}{ \lambda}$. Это можно доказать напрямую. Умножаем на $e^{ \lambda t}$

$\frac{dN}{dt} e^{ \lambda t} + \lambda e^{ \lambda t} N = ge^{ \lambda t}$

Тогда $\frac{d}{dt} (Ne^{ \lambda t} ) = ge^{ \lambda t }$

или $Ne^{ \lambda t} = \frac{g}{ \lambda} e^{ \lambda t} + const$

При $t = 0$, когда начинается образование, $N = 0$

$0 = \frac{g}{ \lambda} + const$

Следовательно $N = \frac{g}{ \lambda} (1 - e^{ - \lambda t} )$

Тогда активность $A = \lambda N = g(1 - e^{ - \lambda t} )$

Из условия $\frac{1}{2,7} = 1 - e^{ - \lambda t}$

Это дает $\lambda t = 0,463$

поэтому $t = \frac{0,463}{ \lambda} = \frac{0,463T}{0,693} = 9,5$ дней.

Алгебраически $t = - \frac{T}{ln 2} ln \left ( 1 - \frac{A}{g} \right )$