ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-08   
При изучении $\beta$-распада радиоизотопа $Mg^{23}$ в момент $t = 0$ был включен счетчик. К моменту $t_{1} = 2,0 с$ он зарегистрировал $N_{1} \beta$ -частиц, а к моменту $t_{2} = 3t_{1}$ — в 2,66 раза больше. Найти среднее время жизни данных ядер.


Решение:


Если $N_{0}$ - количество радионуклидов, присутствующих первоначально, тогда

$N_{1} = N_{0} (1 - e^{ - t_{1} / \tau } )$
$\eta N_{1} = N_{0} (1 - e^{ - t_{2} / \tau } )$

где $\eta = 2,66$ и $t_{2} = 3t_{1}$. Тогда

$\eta = \frac{1 - e^{ - t_{2} / \tau } }{1 - e^{t_{1} / \tau } }$

или $\eta - \eta e^{ - t_{1} / \tau } = 1 - e^{ - t_{2} / \tau }$

Подставляя значения,

$,166 = 2,55 e^{ -2 / \tau} - e^{ -6 \tau}$

Положим $e^{-2 / \tau} = x$. Тогда

$x^{3} - 2,66x + 1,66 = 0$
$(x^{2} - 1)x - 1,66(x - 1) = 0$

или $(x - 1)(x^{2} + x - 1,66 ) = 0$

Итак $x \neq 1$ поэтому $x^{2} + x - 1,66 = 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 2 \cdot 1,66} }{2}$

Отрицательный знак должен исчезнуть при $x > 0$.

Таким образом $x = 0,882$

Это дает $\tau = \frac{-2}{ln 0,882} = 15,9 с$