ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-08   
Воспользовавшись формулой $dn = \frac{ \sqrt{2} m^{3/2} }{ \pi^{2} h^{3} } \sqrt{E}dE$, найти при $T = 0$:
а) максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, если их концентрация равна $n$;
б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если известна их максимальная кинетическая энергия $T_{max}$.


Решение:


(a) Из формулы

$dn = \frac{ \sqrt{2} m^{3/2} }{ \pi^{2} \hbar^{3} } \sqrt{E} dE$

максимальное значение $E_{max}$ из $E$ определяется в терминах $n$ на

$n = \frac{ \sqrt{2} m^{3/2} }{ \pi^{2} \hbar^{3} } \int_{0}^{E_{max}} \sqrt{E} dE = \frac{ \sqrt{2} m^{3/2} }{ \pi^{2} \hbar^{3} } \frac{2}{3}E_{max}^{3/2}$

или $E_{max}^{3/2} = \left ( \frac{ \hbar^{2} }{ 2m} \right )^{3/2} (3 \pi^{2} n )$
$E_{max} = \frac{ \hbar^{2} }{2m} (3 \pi^{2} n )^{2/3}$

(б) Среднее значение кинетической энергии $\langle E \rangle$ является

$\langle E \rangle = \frac{ \int_{0}^{E_{max} } Edn}{ \int_{0}^{E_{max} } dn } = \frac{ \int_{0}^{E_{max} } E^{3/2} dE}{ \int_{0}^{E_{max} } \sqrt{E} dE } = \frac{ \frac{2}{5} E_{max}^{5/2} }{ \frac{2}{3} E_{max}^{3/2} } = \frac{3}{5} E_{max}$