ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-08   
Изобразить спектр распределения энергии колебаний кристалла по частотам (без учета нулевых колебаний). Рассмотреть два случая: $T = \Theta/2$ и $T = \Theta/4$, где $\Theta$ — дебаевская температура.


Решение:


В модели Дебая

$dN_{ \omega} = A \omega^{2}, 0 \leq \omega \leq \omega_{m}$

Тогда $3N = \int_{0}^{ \omega_{m} } dN_{ \omega} = \frac{A \omega_{m}^{2} }{3}$. (Общее количество мод $3N$)

Таким образом $A = \frac{9N}{ \omega_{m}^{3} }$

Мы получаем $U = \frac{9N}{ \omega_{m}^{3} } \int_{0}^{ \omega_{m} } \frac{ \omega^{2} \hbar \omega }{e^{ \hbar } \omega /kT - 1 } d \omega$ игнорирование энергии нулевой точки
$= 9 N \hbar \omega_{m} \int_{0}^{1} \frac{x^{3} dx }{e^{ \hbar \omega x / kT} - 1 }, x = \frac{ \omega}{ \omega_{m} }$
$= 9R \Theta \int_{0}^{1} \frac{x^{3}dx }{e^{x \Theta / T} - 1 }, \Theta = \hbar \omega_{m}/k$

Таким образом $\frac{1}{9R \Theta} \frac{dU(x)}{dx} = \frac{x^{3} }{e^{x \Theta / T} - 1 }$ для $0 \leq x \leq 1$

Для $T = \Theta /2$, это $\frac{x^{3} }{ e^{2x} - 1 }$; для $T = \frac{ \Theta}{4}$, это $\frac{x^{3} }{e^{4x} - 1 }$.

Построим график