Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8642
2018-07-08 
Показать, что молярная теплоемкость кристалла при температуре $T \ll \Theta$, где $\Theta$ — дебаевская температура, определяется формулой $C = \frac{12}{5} \pi^{4} R \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{3} $.
Решение:
Используем формулу $\Theta = \hbar \omega_{max}/k$
$U = 9R \Theta \left ( \frac{1}{8} + \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{4} \int_{0}^{ \Theta / T} \frac{x^{3} dx }{e^{x} - 1 } \right ) = 9R \Theta \left ( \frac{1}{8} + \left ( \int_{0}^{ \infty} \frac{x^{3} dx }{e^{x} - 1 } \right ) \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{4} - \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{4} \int_{ \Theta /T}^{ \infty} \frac{x^{3}dx }{e^{x} - 1 } \right )$
В пределе $T \ll \Theta$ третий член в скобке экспоненциально мал вместе с производными.
Тогда мы можем отбросить последний член
$U = const + \frac{9R}{ \Theta^{3} } T^{4} \int_{0}^{ \infty} \frac{x^{3} dx }{e^{x} - 1 }$
Таким образом $C_{V} = \left ( \frac{ \partial U}{ \partial T} \right )_{V} = \left ( \frac{ \partial U}{ \partial T} \right )_{ \Theta} = 36R \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{3} \int_{0}^{ \infty} \frac{x^{3}dx }{e^{x} - 1 }$
Тогда
$\int_{0}^{ \infty} \frac{x^{3}dx }{e^{x} - 1 } = \frac{ \pi^{4} }{15}$
таким образом $C_{V} = \frac{12 \pi^{4} }{5} \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{3}$
Примечание. Вынесем третий член в скобке $- U_{3}$. Тогда
$U_{3} = \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{4} \int_{ \Theta / T}^{ \infty} \frac{x^{3} }{2 \sin h(x/2)} e^{ - x/2} dx$
Максимальное значение $\frac{x^{3} }{2 \sin h(x/2)}$ - конечная положительная величина $C_{0}$ при $0 \leq x \leq \infty$. Таким образом
$U_{3} \leq 2 C_{0} \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{4} e^{ - \Theta / 2T}$
мы видим, что $U_{3}$ экспоненциально мало при $T \rightarrow 0$. Так что, $\frac{dU_{3} }{dT}$.
Показать, что молярная теплоемкость кристалла при температуре $T \ll \Theta$, где $\Theta$ — дебаевская температура, определяется формулой $C = \frac{12}{5} \pi^{4} R \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{3} $.
Решение:
Используем формулу $\Theta = \hbar \omega_{max}/k$
$U = 9R \Theta \left ( \frac{1}{8} + \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{4} \int_{0}^{ \Theta / T} \frac{x^{3} dx }{e^{x} - 1 } \right ) = 9R \Theta \left ( \frac{1}{8} + \left ( \int_{0}^{ \infty} \frac{x^{3} dx }{e^{x} - 1 } \right ) \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{4} - \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{4} \int_{ \Theta /T}^{ \infty} \frac{x^{3}dx }{e^{x} - 1 } \right )$
В пределе $T \ll \Theta$ третий член в скобке экспоненциально мал вместе с производными.
Тогда мы можем отбросить последний член
$U = const + \frac{9R}{ \Theta^{3} } T^{4} \int_{0}^{ \infty} \frac{x^{3} dx }{e^{x} - 1 }$
Таким образом $C_{V} = \left ( \frac{ \partial U}{ \partial T} \right )_{V} = \left ( \frac{ \partial U}{ \partial T} \right )_{ \Theta} = 36R \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{3} \int_{0}^{ \infty} \frac{x^{3}dx }{e^{x} - 1 }$
Тогда
$\int_{0}^{ \infty} \frac{x^{3}dx }{e^{x} - 1 } = \frac{ \pi^{4} }{15}$
таким образом $C_{V} = \frac{12 \pi^{4} }{5} \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{3}$
Примечание. Вынесем третий член в скобке $- U_{3}$. Тогда
$U_{3} = \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{4} \int_{ \Theta / T}^{ \infty} \frac{x^{3} }{2 \sin h(x/2)} e^{ - x/2} dx$
Максимальное значение $\frac{x^{3} }{2 \sin h(x/2)}$ - конечная положительная величина $C_{0}$ при $0 \leq x \leq \infty$. Таким образом
$U_{3} \leq 2 C_{0} \left ( \frac{T}{ \Theta} \right )^{4} e^{ - \Theta / 2T}$
мы видим, что $U_{3}$ экспоненциально мало при $T \rightarrow 0$. Так что, $\frac{dU_{3} }{dT}$.
