Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8639
2018-07-08 
Для цепочки одинаковых атомов частота колебаний $\omega$ зависит от волнового числа $k$ как $\omega = \omega_{max} \sin( ka/2)$, где $\omega_{max}$ — максимальная частота колебаний, $k = 2 \pi/ \lambda$ — волновое число, соответствующее частоте $\omega$, $a$ - расстояние между соседними атомами. Воспользовавшись этим дисперсионным соотношением, найти зависимость от $\omega$ числа продольных колебаний, приходящихся на единичный интервал частот, т. е. $dN/d \omega$, если длина Цепочки равна $l$. Зная $dN/d \omega$, найти полное число $N$ возможных продольных колебаний цепочки.
Решение:
Если цепочка имеет $N$ атомов, мы можем предположить, что число атомов 0 и $N + 1$ фиксировано. Тогда смещение атома $n$ имеет вид
$u_{n} = A \left ( \sin \frac{m \pi}{L} na \right ) \sin \omega t$
Здесь $k = \frac{m \pi}{L}$. Разрешенные частоты имеют вид
$\omega = \omega_{max} \sin \frac{ka}{2}$
В нашей форме допустимы только положительные значения $k$.
Число мод в диапазоне волновых чисел $dk$ равно
$dN = \frac{Ldk}{ \pi} = \frac{L}{ \pi} \frac{dk}{d \omega} d \omega$
Но $d \omega = \frac{a}{2} \omega_{max} \cos \frac{ka}{2} dk$
Следовательно $\frac{d \omega}{dk} = \frac{a}{2} \sqrt{ \omega_{max}^{2} - \omega^{2} }$
Итак $dN = \frac{2L}{ \pi a} \frac{d \omega}{ \sqrt{ \omega_{max}^{2} - \omega^{2} } }$
(б) Общее количество мод
$N = \int_{0}^{ \omega_{max} } \frac{2L}{ \pi a} \frac{d \omega}{ \sqrt{ \omega_{max}^{2} - \omega^{2} } } = \frac{2L}{ \pi a} \frac{ \pi}{2} = \frac{L}{a}$.
т. е. количество атомов в цепочке.
Для цепочки одинаковых атомов частота колебаний $\omega$ зависит от волнового числа $k$ как $\omega = \omega_{max} \sin( ka/2)$, где $\omega_{max}$ — максимальная частота колебаний, $k = 2 \pi/ \lambda$ — волновое число, соответствующее частоте $\omega$, $a$ - расстояние между соседними атомами. Воспользовавшись этим дисперсионным соотношением, найти зависимость от $\omega$ числа продольных колебаний, приходящихся на единичный интервал частот, т. е. $dN/d \omega$, если длина Цепочки равна $l$. Зная $dN/d \omega$, найти полное число $N$ возможных продольных колебаний цепочки.
Решение:
Если цепочка имеет $N$ атомов, мы можем предположить, что число атомов 0 и $N + 1$ фиксировано. Тогда смещение атома $n$ имеет вид
$u_{n} = A \left ( \sin \frac{m \pi}{L} na \right ) \sin \omega t$
Здесь $k = \frac{m \pi}{L}$. Разрешенные частоты имеют вид
$\omega = \omega_{max} \sin \frac{ka}{2}$
В нашей форме допустимы только положительные значения $k$.
Число мод в диапазоне волновых чисел $dk$ равно
$dN = \frac{Ldk}{ \pi} = \frac{L}{ \pi} \frac{dk}{d \omega} d \omega$
Но $d \omega = \frac{a}{2} \omega_{max} \cos \frac{ka}{2} dk$
Следовательно $\frac{d \omega}{dk} = \frac{a}{2} \sqrt{ \omega_{max}^{2} - \omega^{2} }$
Итак $dN = \frac{2L}{ \pi a} \frac{d \omega}{ \sqrt{ \omega_{max}^{2} - \omega^{2} } }$
(б) Общее количество мод
$N = \int_{0}^{ \omega_{max} } \frac{2L}{ \pi a} \frac{d \omega}{ \sqrt{ \omega_{max}^{2} - \omega^{2} } } = \frac{2L}{ \pi a} \frac{ \pi}{2} = \frac{L}{a}$.
т. е. количество атомов в цепочке.
