ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Получить выражение, определяющее зависимость теплоемкости одномерного кристалла — цепочки одинаковых атомов — от температуры $T$, если дебаевская температура цепочки равна $\Theta$. Упростить полученное выражение для случая $T \gg \Theta$.


Решение:


В дебаевском приближении число мод на единицу частотного интервала дается выражением

$dN = \frac{l}{ \pi v}d \omega \leq \omega \leq \frac{k \Theta}{ \hbar}$

Но $\frac{k \Theta}{ \hbar} = \pi n_{0} v$

Таким образом $dN = \frac{l}{ \pi v} d \omega, 0 \leq \omega \leq \pi n_{0} v$

Энергия для каждой моды $\langle E \rangle = \frac{1}{2} \hbar \omega + \frac{ \hbar \omega}{e^{ \hbar \omega / kT } - 1 }$

Тогда полная энергия интервала равна

$U = \frac{l}{ \pi v} \int_{0}^{ \pi n_{0}v } \frac{1}{2} \hbar \omega d \omega + \frac{l}{ \pi v} \int_{0}^{ \pi n_{0}v } \frac{ \hbar \omega}{e^{ \hbar \omega /kT } - 1 } d \omega = \frac{l \hbar}{ 4 \pi v} ( \pi n_{0} v )^{2} + \frac{l}{ \pi v \hbar } (kT)^{2} \int_{0}^{ \Theta / T} \frac{xdx}{e^{x} - 1 } = ln_{0} k \frac{ \hbar}{k} ( \pi n_{0} v ) \frac{1}{4} + l n_{0} k \frac{T^{2} }{( \pi n_{0} v \hbar / k)} \int_{0}^{ \Theta /T} \frac{xdx}{e^{x} - 1 }$

Положим $l n_{0} k = R$ на 1 моль

Тогда $U = R \Theta \left ( \frac{1}{4} + \left ( \frac{I}{ \Theta} \right )^{2} \int_{0}^{ \Theta / T} \frac{xdx}{e^{x} - 1 } \right )$

Следовательно, молярная теплоемкость находим путем дифференцирования

$C_{V} = \left ( \frac{ \partial U}{ \partial T} \right )_{ \Theta} = R \left (2 \frac{T }{ \Theta} \int_{0}^{ \Theta /T} \frac{xdx}{e^{x} - 1 } - \frac{ \Theta / T}{e^{ \Theta / T} - 1 } \right )$

когда $T \gg \Theta, C_{V} \approx R$.