ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Вычислить дебаевскую температуру для железа, у которого скорости распространения продольных и поперечных колебаний равны соответственно 5,85 и 3,23 км/с.


Решение:


Мы действуем так же, как и в задаче 8635. Общее число мод должно быть $3 n_{0}v$ (общее поперечное и одно продольное на атом). С другой стороны, число поперечных мод на единицу частотного интервала дается выражением

$dN^{ \perp} = \frac{V \omega^{2} }{ \pi^{2} v_{ \perp}^{3} } d \omega$

а число продольных мод не имеет единичной частоты в интервале,

$dN^{ \parallel} = \frac{V \omega^{2} }{2 \pi^{2} v_{ \parallel}^{3} } d \omega$

Общее число на единицу частотного интервала равно

$dN = \frac{V \omega^{2} }{2 \pi^{2} } \left ( \frac{2}{v_{ \perp}^{3} } + \frac{1}{v_{ \parallel}^{3} } \right ) d \omega$

Если отрезок высокой частоты находится в точке $\omega_{0} = \frac{k \Theta}{ \hbar}$, общее число мод будет

$3n_{0} V = \frac{V}{6 \pi^{2} } \left ( \frac{2}{v_{ \perp}^{3} } + \frac{1}{v_{ \parallel}^{3} } \right ) \left ( \frac{k \Theta}{ \hbar} \right )^{3}$

Здесь $n_{0}$ - число атомов железа на единицу объема. Таким образом

$\Theta = \frac{ \hbar}{k} \sqrt[3]{ \frac{18 \pi^{2} n_{0} }{ \frac{2}{v_{ \perp}^{3}} + \frac{1}{v_{ \parallel}^{3} } } }$

Для железа

$n_{0} = \frac{N_{A} }{ \frac{M}{ \rho} } = \frac{ \rho N_{A} }{M}$

($\rho$ - плотность, $M$ - атомный вес железа $N_{A}$ - число Авогадро).

$n_{0} = 8,389 \cdot 10^{22} $за куб.см

Подставляя полученные данные

$\Theta = 469,1 К$