ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Считая, что скорости распространения продольных и поперечных колебаний одинаковы и равны $v$, определить дебаевскую температуру:
а) для одномерного кристалла — цепочки из одинаковых атомов, содержащей $n_{0}$ атомов на единицу длины;
б) для двумерного кристалла — плоской квадратной решетки из одинаковых атомов, содержащей $n_{0}$ атомов на единицу площади;
в) для простой кубической решетки из одинаковых атомов, содержащей $n_{0}$ атомов на единицу объема.


Решение:


Чтобы определить температуру Дебая, мы отсекаем высокочастотные моды таким образом, чтобы правильно получить общее число мод.

(а) В линейном кристалле с атомами $n_{0}l$ число мод поперечных колебаний в любой заданной плоскости не может превышать $n_{0}l$. Тогда

$n_{0}l = \frac{l}{ \pi v} \int_{0}^{ \omega_{0} } d \omega = \frac{l}{ \pi v} \omega_{0}$

Частота среза $\omega_{0}$ связана с температурой Дебая $\Theta$ на

$\hbar \omega_{0} = k \Theta$

Таким образом $\Theta = \left ( \frac{ \hbar }{k} \right ) \pi n_{0}v$

(б) В квадратной решетке число мод поперечных колебаний не может превышать $n_{0}S$. Таким образом

$n_{0}S = \frac{S}{2 \pi v^{2} } \int_{0}^{ \omega_{0} } \omega d \omega = \frac{S}{4 \pi v^{2} } \omega_{0}^{2}$

или $\Theta = \frac{ \hbar}{k} \omega_{0} = \frac{ \hbar}{k} \sqrt{4 \pi n_{0} } v$

(в) В кубическом кристалле максимальное число поперечных волн должно равняться $2 n_{0} V$ (по два для каждого атома). Таким образом

$2n_{0}V = \frac{V}{ \pi^{2}v^{3} } \int_{0}^{ \omega_{0} } \omega^{2} d \omega = \frac{V \omega_{0}^{3} }{3 \pi^{2} v^{3} }$.
Таким образом $\Theta = \frac{ \hbar}{k} v \sqrt[3]{6 \pi^{2} n_{0} }$