Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8634
2018-07-04 
Найти число собственных поперечных колебаний прямоугольного параллелепипеда объемом $V$ в интервале частот $\omega, \omega + d \omega$, если скорость распространения колебаний равна $v$.
Решение:
Для поперечных колебаний трехмерного континуума (в виде куба) имеем уравнение
$\frac{ \partial^{2} \vec{ \xi} }{ \partial t^{2} } = v^{2} \vec{ \nabla}^{2}, div \vec{ \xi} = 0$
Здесь $\vec{ \xi} = \vec{ \xi} (x, у, z, t)$. Мы ищем решения в форме
$\vec{ \xi} = \vec{A} \sin k_{1}x, \sin k_{2}y, \sin k_{3} z, \sin( \omega t + \delta)$
Для этого требуется $\omega^{2} = v^{2} ( k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2} )$
Из граничного условия $\vec{ \xi} = 0$ для $x = 0, x = l, y = 0, y = k, z = 0, z = l$, получаем
$k_{1} = \frac{ n_{1} \pi }{l}, k_{2} = \frac{n_{2} \pi }{l}, k_{3} = \frac{n_{3} \pi }{l}$
где $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ - отличные от нуля натуральные числа.
Тогда мы получаем $n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2} = \left ( \frac{l \omega}{ \pi v} \right )^{2}$
Каждый триплет $(n_{1}, n_{2}, n_{3})$ определяет возможную моду и число таких мод, частота $\leq \omega$ - объем всех положительных октантов сферы радиуса $ \frac{l \omega}{ \pi v} $. Принимая во внимание также тот факт, что вспомогательное условие $div \vec{ \xi} = 0$ влечет за собой два независимых значения $\vec{A}$ для каждого выбора волновой вектор $(k_{1}, k_{2}, k_{3})$
Найдем $N( \omega ) = \frac{1}{8} \frac{4 \pi }{3} \left ( \frac{l \omega}{ \pi v} \right )^{3} \cdot 2 = \frac{V \omega^{3} }{3 \pi^{2} v^{3} }$
Таким образом $dN = \frac{V \omega^{2} }{ \pi^{2} v^{3} } d \omega$.
Найти число собственных поперечных колебаний прямоугольного параллелепипеда объемом $V$ в интервале частот $\omega, \omega + d \omega$, если скорость распространения колебаний равна $v$.
Решение:
Для поперечных колебаний трехмерного континуума (в виде куба) имеем уравнение
$\frac{ \partial^{2} \vec{ \xi} }{ \partial t^{2} } = v^{2} \vec{ \nabla}^{2}, div \vec{ \xi} = 0$
Здесь $\vec{ \xi} = \vec{ \xi} (x, у, z, t)$. Мы ищем решения в форме
$\vec{ \xi} = \vec{A} \sin k_{1}x, \sin k_{2}y, \sin k_{3} z, \sin( \omega t + \delta)$
Для этого требуется $\omega^{2} = v^{2} ( k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2} )$
Из граничного условия $\vec{ \xi} = 0$ для $x = 0, x = l, y = 0, y = k, z = 0, z = l$, получаем
$k_{1} = \frac{ n_{1} \pi }{l}, k_{2} = \frac{n_{2} \pi }{l}, k_{3} = \frac{n_{3} \pi }{l}$
где $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ - отличные от нуля натуральные числа.
Тогда мы получаем $n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2} = \left ( \frac{l \omega}{ \pi v} \right )^{2}$
Каждый триплет $(n_{1}, n_{2}, n_{3})$ определяет возможную моду и число таких мод, частота $\leq \omega$ - объем всех положительных октантов сферы радиуса $ \frac{l \omega}{ \pi v} $. Принимая во внимание также тот факт, что вспомогательное условие $div \vec{ \xi} = 0$ влечет за собой два независимых значения $\vec{A}$ для каждого выбора волновой вектор $(k_{1}, k_{2}, k_{3})$
Найдем $N( \omega ) = \frac{1}{8} \frac{4 \pi }{3} \left ( \frac{l \omega}{ \pi v} \right )^{3} \cdot 2 = \frac{V \omega^{3} }{3 \pi^{2} v^{3} }$
Таким образом $dN = \frac{V \omega^{2} }{ \pi^{2} v^{3} } d \omega$.
