ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Имеется прямоугольная мембрана площадью $S$. Найти число собственных колебаний, перпендикулярных к ее плоскости, в интервале частот $\omega, \omega + d \omega$, если скорость распространения колебаний равна $v$.


Решение:


Пусть $\xi (x, y, t)$ - смещение элемента $(x, y)$ в момент времени $t$. Тогда оно подчиняется уравнению

$\frac{ \partial^{2} \xi }{ \partial t^{2}} = v^{2} \left ( \frac{ \partial^{2} \xi }{ \partial x^{2} } + \frac{ \partial^{2} \xi }{ \partial y^{2} } \right )$
где $\xi = 0$ при $x = 0, x = l, y = 0$ и $y = l$.

Мы ищем решение в форме

$\xi = A \sin k_{1} x \sin k_{2} y \sin ( \omega t + \delta )$
Тогда $\omega^{2} = v^{2} ( k_{1}^{2} + k_{2}^{2} )$

$k_{1} = \frac{n \pi}{l}, k_{2} = \frac{m \pi}{l}$

Запишем это как

$n^{2} + m^{2} = \left ( \frac{l \omega}{ \pi v} \right )^{2}$

Здесь $n, m > 0$. Каждая пара $(n, m)$ определяет моду. Суммарным количеством мод, частота которых равна $\leq \omega$, является площадь квадранта окружности радиуса $\frac{l \omega}{ \pi v}$ т.е.

$N = \frac{ \pi}{4} \left ( \frac{l \omega}{ \pi v} \right )^{2}$
Тогда $dN = \frac{l^{2} }{2 \pi v^{2} } \omega d \omega = \frac{S}{2 \pi v^{2} } \omega d \omega$.

где $S = l^{2}$ - площадь мембраны.