ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Найти для двухатомной молекулы $dN/dE$ (число вращательных уровней на единичный интервал энергии) в зависимости от вращательной энергии $E$. Вычислить эту величину для молекулы иода в состоянии с вращательным квантовым числом $J = 10$. Расстояние между ядрами этой молекулы равно 267 пм.


Решение:


Из формулы

$J(J + 1) \frac{ \hbar^{2} }{2I} = E$ получаем $J(J + 1) = \frac{ 2IE}{ \hbar^{2}}$

или $\left ( J + \frac{1}{2} \right )^{2} - \frac{1}{4} = \frac{2iE}{ \hbar^{2} }$

Следовательно $J = - \frac{1}{2} + \sqrt{ \frac{1}{4} + \frac{2IE}{ \hbar^{2} } }$

Запишем $J + 1 = - \frac{1}{2} + \sqrt{ \frac{1}{4} \frac{2I(E + \Delta E)}{ \hbar^{2} } }$

Найдем $1 = \sqrt{ \frac{1}{4} + \frac{2I}{ \hbar^{2} } E + \frac{2I}{ \hbar^{2} } \Delta E } - \sqrt{ \frac{1}{4} + \frac{2IE}{ \hbar^{2} } } = \sqrt{ \frac{1}{4} + \frac{2I}{ \hbar^{2} } E } \left ( \sqrt{ 1 + \frac{ \Delta E}{E + \frac{ \hbar^{2} }{8I} } } - 1 \right ) = \sqrt{ \frac{1}{4} + \frac{2I}{ \hbar^{2} } E } \frac{ \Delta E}{2 \left (E + \frac{ \hbar^{2} }{8I} \right ) } = \sqrt{ \frac{2I}{ \hbar^{2} } } \frac{ \Delta E}{2 \sqrt{E + \frac{ \hbar^{2} }{8I} } }$

Величина $\frac{dN}{dE}$ равна $\frac{1}{ \Delta E}$. Для большого $E$ это

$\frac{dN}{dE} = \sqrt{ \frac{I}{2 \hbar^{2} E } }$

Для молекулы йода

$I = m_{I}d^{2} / 2 = 7,57 \cdot 10^{ -38} гм \cdot см^{2}$

Таким образом, при $J = 10$

$\frac{dN}{dE} = \sqrt{ \frac{I}{2 \hbar^{2} \frac{ \hbar^{2} }{2I} J(J + 1) } } = \frac{I}{ \sqrt{J(J + 1)} \hbar^{2} }$

Подстановка дает

$\frac{dN}{dE} = 1,04 \cdot 10^{4}$ уровней на эВ