Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 861
2016-09-08 
Положительный $q_{1}$ и отрицательный $q_{2}$ точечные заряды закреплены на оси $X$ по разные стороны от гладкой непроводящей пластины, плоскость которой перпендикулярна оси $X$. Маленький положительно заряженный шарик также находится на оси $X$, упираясь в пластину, как показано на рисунке. Первоначально пластина расположена вблизи отрицательного заряда, шарик при этом находится в равновесии. Пластину начинают поступательно перемещать вдоль оси $X$, медленно увеличивая расстояние $l$ между пластиной и отрицательным зарядом. Когда $l$ достигает $1/3$ расстояния между зарядами, шарик «улетает» с оси $X$. Определите отношение $q_{1}/q_{2}$. Влиянием вещества пластины на электрическое поле, а также силой тяжести пренебречь.
Решение:
Предположим, что шарик сместился вдоль оси $Y$, лежащей в плоскости пластины и перпендикулярной к оси $X$, на небольшое расстояние $h$ (см. рисунок).
Проекция на ось $Y$ результирующей силы, действующей на шарик со стороны точечных зарядов, равна
$F_{y} = F_{1} \sin \alpha_{1} - F_{2} \sin \alpha_{2}$;
где $\sin \alpha_{1} = \frac{h}{r_{1}}, \sin \alpha_{2} = \frac{h}{r_{2}}$, a $r_{1}$ и $r_{2}$ — расстояния от шарика до зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$ соответственно. Положение шарика на оси $X$ будет устойчивым, если $F_{y} < 0$. Потеря устойчивости происходит при $F_{1} \sin \alpha_{1} = F_{2} \sin \alpha_{2}$.
Из закона Кулона следует, что
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{q_{1}}{-q_{2}} \cdot \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}$.
Следовательно,
$- \frac{q_{1}}{q_{2}} \cdot \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}} = \frac{ \sin \alpha_{2}}{ \sin \alpha_{1}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}$.
Отсюда
$\frac{q_{1}}{q_{2}} = - \left ( \frac{r_{1}}{r_{2}} \right )^{3}$.
При малых $h$ расстояния $r_{1}$ и $h_{2}$ примерно равны соответствующим расстояниям, измеренным вдоль оси $X$. Следовательно
$\frac{q_{1}}{q_{2}} = - \left ( \frac{2l}{l} \right )^{3} = -8$.
Положительный $q_{1}$ и отрицательный $q_{2}$ точечные заряды закреплены на оси $X$ по разные стороны от гладкой непроводящей пластины, плоскость которой перпендикулярна оси $X$. Маленький положительно заряженный шарик также находится на оси $X$, упираясь в пластину, как показано на рисунке. Первоначально пластина расположена вблизи отрицательного заряда, шарик при этом находится в равновесии. Пластину начинают поступательно перемещать вдоль оси $X$, медленно увеличивая расстояние $l$ между пластиной и отрицательным зарядом. Когда $l$ достигает $1/3$ расстояния между зарядами, шарик «улетает» с оси $X$. Определите отношение $q_{1}/q_{2}$. Влиянием вещества пластины на электрическое поле, а также силой тяжести пренебречь.
Решение:
Предположим, что шарик сместился вдоль оси $Y$, лежащей в плоскости пластины и перпендикулярной к оси $X$, на небольшое расстояние $h$ (см. рисунок).
Проекция на ось $Y$ результирующей силы, действующей на шарик со стороны точечных зарядов, равна
$F_{y} = F_{1} \sin \alpha_{1} - F_{2} \sin \alpha_{2}$;
где $\sin \alpha_{1} = \frac{h}{r_{1}}, \sin \alpha_{2} = \frac{h}{r_{2}}$, a $r_{1}$ и $r_{2}$ — расстояния от шарика до зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$ соответственно. Положение шарика на оси $X$ будет устойчивым, если $F_{y} < 0$. Потеря устойчивости происходит при $F_{1} \sin \alpha_{1} = F_{2} \sin \alpha_{2}$.
Из закона Кулона следует, что
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{q_{1}}{-q_{2}} \cdot \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}$.
Следовательно,
$- \frac{q_{1}}{q_{2}} \cdot \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}} = \frac{ \sin \alpha_{2}}{ \sin \alpha_{1}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}$.
Отсюда
$\frac{q_{1}}{q_{2}} = - \left ( \frac{r_{1}}{r_{2}} \right )^{3}$.
При малых $h$ расстояния $r_{1}$ и $h_{2}$ примерно равны соответствующим расстояниям, измеренным вдоль оси $X$. Следовательно
$\frac{q_{1}}{q_{2}} = - \left ( \frac{2l}{l} \right )^{3} = -8$.
