Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 860
2016-09-08 
Цикл тепловой машины состоит из двух изобар и двух изотерм, при этом работа при изобарическом расширении такая же, как и при изотермическом. Найдите КПД такого цикла, если рабочим веществом является гелий, а максимальная температура в процессе вдвое больше минимальной.
Решение:
Изобразим цикл тепловой машины на термодинамической диаграмме в $pV$ - координатах (см. рисунок): 1-2 и 3-4 — изобары, 2-3 и 4-1 — изотермы. КПД цикла равен отношению совершённой в цикле работы к полученному на участке 1-2-3 количеству теплоты.
Рассчитаем работу на различных участках цикла. Обозначим работу на участке 1-2 через $A_{12} = A$; тогда по условию для участка 2-3 имеем $A_{23} = A$. Для расчёта работы на участке 3-4 учтём, что в силу условия задачи $T_{2} = T_{3} = T_{max}, T_{1} = T_{4} = T_{min}, T_{3} = 2T_{4}, p_{1} = p_{2}, p_{3} = p_{4}$. Поэтому $V_{3} = (T_{3}/T_{4})V_{4} = 2 V_{4}, V_{2} = (T_{2}/T_{1})V_{1} = 2V_{1}, p_{1}V_{1} = p_{4}V_{4}$; отсюда
$A_{34} = -p_{4}(V_{3} - V_{4}) = - p_{4}V_{4} = -p_{1}V_{1} = -p_{1}(V_{2} - V_{1}) = -A$.
Для расчёта работы на участке 4-1 заметим, что кривая 1-4 получается из кривой 2-3 сжатием в два раза вдоль оси $V$, поэтому площади под кривыми 1-4 и 2-3 отличаются в два раза: $A_{41} = - A/2$. Суммарная работа в цикле, таким образом, равна
$A_{ \sum} = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41} = A + A - A - \frac{A}{2} = \frac{A}{2}$.
Рассчитаем полученные газом количества теплоты на участках 1-2 и 2-3. Сообщаемое газу количество теплоты идёт на изменение его внутренней энергии, которая для одноатомного гелия равна $\frac{2}{3}pV$, и на совершение работы: $Q_{12} = \frac{3}{2} p_{1} (V_{2} - V_{1}) + p_{1}(V_{2} - V_{1}) = \frac{5}{2}A, Q_{23} = A$. Суммарное количество теплоты, полученное на участке 1-2-3, равно $Q_{123} = Q_{12} + Q_{23} = \frac{5}{2} A + A = \frac{7}{2} A$.
Следовательно, КПД цикла равен $\eta = \frac{A_{ \sum}}{ Q_{123}} = \frac{1}{7} \approx 14%$.
Цикл тепловой машины состоит из двух изобар и двух изотерм, при этом работа при изобарическом расширении такая же, как и при изотермическом. Найдите КПД такого цикла, если рабочим веществом является гелий, а максимальная температура в процессе вдвое больше минимальной.
Решение:
Изобразим цикл тепловой машины на термодинамической диаграмме в $pV$ - координатах (см. рисунок): 1-2 и 3-4 — изобары, 2-3 и 4-1 — изотермы. КПД цикла равен отношению совершённой в цикле работы к полученному на участке 1-2-3 количеству теплоты.
Рассчитаем работу на различных участках цикла. Обозначим работу на участке 1-2 через $A_{12} = A$; тогда по условию для участка 2-3 имеем $A_{23} = A$. Для расчёта работы на участке 3-4 учтём, что в силу условия задачи $T_{2} = T_{3} = T_{max}, T_{1} = T_{4} = T_{min}, T_{3} = 2T_{4}, p_{1} = p_{2}, p_{3} = p_{4}$. Поэтому $V_{3} = (T_{3}/T_{4})V_{4} = 2 V_{4}, V_{2} = (T_{2}/T_{1})V_{1} = 2V_{1}, p_{1}V_{1} = p_{4}V_{4}$; отсюда
$A_{34} = -p_{4}(V_{3} - V_{4}) = - p_{4}V_{4} = -p_{1}V_{1} = -p_{1}(V_{2} - V_{1}) = -A$.
Для расчёта работы на участке 4-1 заметим, что кривая 1-4 получается из кривой 2-3 сжатием в два раза вдоль оси $V$, поэтому площади под кривыми 1-4 и 2-3 отличаются в два раза: $A_{41} = - A/2$. Суммарная работа в цикле, таким образом, равна
$A_{ \sum} = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41} = A + A - A - \frac{A}{2} = \frac{A}{2}$.
Рассчитаем полученные газом количества теплоты на участках 1-2 и 2-3. Сообщаемое газу количество теплоты идёт на изменение его внутренней энергии, которая для одноатомного гелия равна $\frac{2}{3}pV$, и на совершение работы: $Q_{12} = \frac{3}{2} p_{1} (V_{2} - V_{1}) + p_{1}(V_{2} - V_{1}) = \frac{5}{2}A, Q_{23} = A$. Суммарное количество теплоты, полученное на участке 1-2-3, равно $Q_{123} = Q_{12} + Q_{23} = \frac{5}{2} A + A = \frac{7}{2} A$.
Следовательно, КПД цикла равен $\eta = \frac{A_{ \sum}}{ Q_{123}} = \frac{1}{7} \approx 14%$.
