2016-09-08
ве материальные точки 1 и 2 массами $m_{1}$ и $m_{2}$ находятся на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости и связаны невесомой нерастяжимой нитью длиной $L$. Вначале точка 1 закреплена, а точка 2 движется вокруг неё по окружности. Затем точку 1 освобождают, и точка 2 начинает двигаться по траектории, изображённой на рисунке. Найдите шаг траектории $h$ и ширину петли $d$.
Решение:
Обозначим через $\omega$ угловую скорость вращения точки 2 вокруг точки 1 до момента её освобождения. Введём неподвижную систему отсчёта, выбрав в качестве начала отсчёта времени момент, когда освобождают точку 1, а в качестве начала координат $O$ — начальное положение центра масс системы, находящегося на расстоянии $R = \frac{m_{2}L}{m_{1} + m_{2}}$ от точки 1 и $R_{2} = \frac{m_{1}L}{m_{1}+m_{2}}$ от точки 2. Направим ось $x$ вдоль начальной скорости точки 2, а ось $y$ — вдоль нити от точки 1 к точке 2. В неподвижной системе отсчёта начальная скорость точки 1 равна нулю, а начальная скорость точки 2 равна $\omega L$ и направлена по оси $x$. Введём также движущуюся систему отсчёта, координатные оси которой $x^{ \prime}$ и $y^{ \prime}$ направлены одинаково с координатными осями $x$ и $y$, а начало координат $O^{ \prime}$ в момент $t = 0$ совпадает с точкой $O$ и движется относительно неё со скоростью $\frac{ \omega m_{2}L}{m_{1} + m_{2}}$ вдоль оси $x$. В такой движущейся системе отсчёта центр масс системы (точка $O^{ \prime}$) неподвижен, поэтому точки 1 и 2 движутся вокруг него по окружностям радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ соответственно. В начальный момент времени скорости точек 1 и 2 направлены вдоль оси $x$ и равны $v_{1} = \frac{ \omega m_{2}L}{m_{1} + m_{2}} = - \omega R_{1}$ и $v_{2} = \frac{ \omega m_{1} L}{m_{1} + m_{2}} = \omega R_{2}$ соответственно, поэтому вращение точек 1 и 2 вокруг точки $O^{ \prime}$ происходит также
с угловой скоростью $\omega$. Точка 2 при этом движется по закону $x^{ \prime} = R_{2} \sin \omega t, y^{ \prime} = R_{2} \cos \omega t$.
Перейдём обратно в неподвижную систему отсчёта. Закон движения точки 2 здесь будет выглядеть следующим образом: $x = R_{2} \sin \omega t + \omega R_{1}t, y = R_{2} \cos \omega t$. За время $\Delta t = 2 \pi / \omega$, то есть за период обращения точки 2 вокруг центра масс системы эта точка смещается по оси $x$ на расстояние, равное
шагу траектории:
$\Delta x = h = 2 \pi R_{1} = \frac{2 \pi m_{2}L}{m_{1} + m_{2}}$.
Чтобы найти ширину петли $d$, исследуем знак компоненты $v_{x}$ скорости точки 2:
$v_{x} = \frac{dx}{dt} = \omega (R_{1} + R_{2} \cos \omega t)$.
Видно (см. рисунок), что $v_{v}$ меняет знак при $R_{2} > R_{1}$, то есть при $m_{1} > m_{2}$. На протяжении первого периода обращения точки 2 вокруг центра масс системы компонента скорости $v_{x}$ дважды обращается в ноль при $\omega t_{1} = \pi — arccos \frac{R_{1}}{R_{2}}$ и при $\omega t_{2} = \pi + arccos \frac{R_{1}}{R_{2}}$. В промежутке времени между $t_{1}$ и $t_{2}$ компонента скорости $v_{x}$ отрицательна. За это время точка 2 смещается по оси $x$ на расстояние, равное
$x(t_{2}) - x(t_{1}) = -d = R_{1} \cdot 2 \phi - 2R_{2} \sin \phi = \frac{2m_{2}L}{m_{1} + m_{2}} \phi - \frac{2m_{1}L}{m_{1} + m_{2}} \sin \phi$,
где $phi = \arccos \frac{R_{1}}{R_{2}} = \arccos \frac{m_{2}}{m_{1}}$. Таким образом, ширина петли равна
$d = \frac{2L}{m_{1} +m_{2}} (m_{1} \sin \phi - m_{2} \phi) = \frac{2L}{m_{1} + m_{2}} \left ( \sqrt{ m_{1}^{2} - m_{2}^{2}} - m_{2} arccos \frac{m_{2}}{m_{1}} \right )$.