ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Найти с помощью формулы $D \approx e^{ - \frac{2}{ \hbar} \int_{x_{1} }^{x_{2} } \sqrt{2m(U - E) } dx }$ вероятность $D$ прохождения частицы с массой $m$ и энергией $E$ сквозь потенциальный барьер (рис.), где $U(x) = U_{0}(1 — x^{2}/l^{2})$.



Решение:


Потенциал $U(x) = U_{0} \left ( 1 - \frac{x^{2} }{l^{2} } \right )$. Точки поворота

$\frac{E}{U_{0} } = 1 - \frac{x^{2} }{l^{2} }$ или $x = \pm l \sqrt{1 - \frac{E}{U_{0} } }$.

Тогда $D \approx e^{ - \frac{4}{ \hbar} \int_{0}^{l \sqrt{1 - (E/U_{0} ) } } \sqrt{2m \left (U_{0} \left ( 1 - \frac{x^{2} }{l^{2} } \right ) - E \right ) } dx } = e^{ - \frac{4}{ \hbar} \int_{0}^{l \sqrt{1 - E/U_{0} } } \sqrt{2mU_{0} } \sqrt{1 - \frac{E}{U_{0} } - \frac{x^{2} }{l^{2} } } dx } = e^{ - \frac{4l}{ \hbar} \sqrt{2mV_{0} } \int_{0}^{x_{0} } \sqrt{x_{0}^{2} - x^{2} } dx }, x_{0} = \sqrt{1 - E/V_{0} }$

Интеграл

$\int_{0}^{x_{0} } \sqrt{x_{0}^{2} - x^{2} } dx = x_{0}^{2} \int_{0}^{ \pi /2} \cos^{2} \theta d \theta = \frac{ \pi}{4} x_{0}^{2}$

Таким образом

$D \approx e^{ - \frac{ \pi l}{ \hbar} \sqrt{2mU_{0} } \left ( 1 - \frac{E}{U_{0} } \right ) } = e^{ - \frac{ \pi l}{ \hbar} \sqrt{ \frac{2m}{U_{0} } } (U_{0} - E ) }$