ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Воспользовавшись формулой $D \approx e^{ - \frac{2}{ \hbar} \int_{x_{1} }^{x_{2} } \sqrt{2m(U - E) } dx }$, найти для электрона с энергией $E$ вероятность $D$ прохождения потенциального барьера, ширина которого $l$ и высота $U_{0}$, если барьер имеет форму, показанную:
а) на рис.

б) на рис.



Решение:


Формула

$D \approx e^{- \frac{2}{ \hbar} \int_{x_{1} }^{x_{2} } \sqrt{2m(V(x) - E ) } dx }$

Здесь $V(x_{2}) = V (x_{1} ) = E$ и $V(x) > E$ в области $x_{2} > x > x_{1}$.

(а) Для задачи интеграл тривиален

$D \approx e^{- \frac{2l}{ \hbar} \sqrt{2m(U_{0} - E ) } }$

(б) Мы можем без потери общности взять $x = 0$ в точке, где потенциал начинает расти. Тогда

$U(x) = \begin{cases} 0 &, x<0 \\ U_{0} \frac{x}{l} &, 0 < x < l \\ 0 &, x > l \end{cases}$

Тогда $D \approx e^{- \frac{2}{ \hbar} \int_{l \frac{E}{U_{0} } }^{l } \sqrt{2m(U_{0} \frac{x}{l} - E ) } dx } = e^{- \frac{2}{ \hbar} \sqrt{ \frac{2mU_{0} }{l} } \int_{x_{0} }^{l } \sqrt{x - x_{0}} dx } x_{0} = l \frac{E}{U_{0} } = e^{- \frac{4}{3 \hbar} \sqrt{ \frac{2mU_{0} }{l} } \left ( l - l \frac{E}{U_{0} } \right )^{3/2} } = e^{ - \frac{2l}{3 \hbar U_{0} } (U_{0} - E )^{3/2} \sqrt{2m} }$