ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Частицы с массой $m$ и энергией $E$ движутся слева на потенциальный барьер (рис.). Найти:
а) коэффициент отражения $R$ этого барьера при $E > U_{0}$;
б) эффективную глубину проникновения частиц в область $x > 0$ при $E < U_{0}$, т. е. расстояние от границы барьера до точки, где плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в $e$ раз.



Решение:


(а) Начнем с уравнения Шредингера $ \frac{d^{2} \Psi }{sx^{2} } + \frac{2m}{ \hbar^{2} } (E - U(x)) \psi = 0$

которые мы запишем как $\Psi_{I}^{ \prime \prime} + k^{2} \Psi_{I} = 0, x < 0$

$k^{2} = \frac{2mE}{ \hbar^{2} }$

и $\Psi_{II}^{ \prime \prime} + \alpha^{2} \Psi_{II} = 0, x > 0$
$\alpha^{2} = \frac{2m}{ \hbar^{2} } (E - U_{0} ) > 0$

Удобно искать решения в виде

$\psi_{I} = e^{ikx} +Re^{ - ikx}x < 0$
$\Psi_{II} = Ae^{i \alpha x} + Be^{ - i \alpha x}, x> 0$

В области $I(x < 0)$, амплитуда $e^{ ikx}$ записывается как единое целое. Во II мы ожидаем только переданную волну справа, $B = 0$. Итак

$\Psi_{II} + Ae^{ ikx }, x > 0$

Граничные условия следуют из непрерывности $\Psi$ & $\frac{d \psi}{dx}$ при $x = 0$.

$1 + R = A$
$iK (1 - R) = i \alpha A$

Тогда $\frac{1- R}{1 + R} = \frac{ \alpha }{k}$ или $R = \frac{k - \alpha}{k + \alpha}$

Коэффициент отражения является квадратом по модулю $R$:

$r = |R|^{2} = \left | \frac{k - \alpha}{k + \alpha} \right |^{2}$

(б) В этом случае $E < U_{0}, \alpha^{2} = - \beta^{2} < 0$. Тогда $\Psi_{I}$ не изменяется по форме, но

$\Psi_{II} = Ae^{ - \beta x} + B e^{+ \beta x}$

$B = 0$ так как в противном случае $\psi (x)$ станет неограниченным при $x \rightarrow \infty$.
Окончательно $\Psi_{II} = Ae^{ - \beta x}$

Внутри барьера частица имеет плотность вероятности, равную

$| \psi_{II} |^{2} = |A|^{2} e^{ - 2 \beta x}$

Она уменьшается до $\frac{1}{e}$

$x_{eff} = \frac{1}{2 \beta} = \frac{ \hbar}{ 2 \sqrt{2m(U_{0} - E ) } }$