ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид $\psi(r) = Ae^{ - r/r_{1}}$, где $A$ - некоторая постоянная, $r_{1}$ — первый боровский радиус. Найти:
а) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром;
б) среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон;
в) среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра.


Решение:


Сначала мы найдем $A$ из нормализации

$1 = \int_{0}^{ \infty} 4 \pi A^{2}e^{ - 2r / r_{1} } r^{2}dr = \frac{ \pi A^{2} }{2} r_{1}^{3} \int_{0}^{ \infty} e^{ - x} x^{2} dx = \pi A^{2} r_{1}^{3}$

так как интеграл имеет значение 2.
Таким образом, $A^{2} = \frac{1}{ \pi r_{1}^{3} }$ или $A = \frac{1}{ \sqrt{r_{1}^{3} \pi } }$

(a) Наиболее вероятное расстояние $r_{pr}$ это значение $r$ для которого

$P(r) = 4 \pi r^{2} | \psi (r) |^{2} = \frac{4 }{r_{1}^{3} } r^{2} e^{ -2r/r_{1} }$

является максимальным. Это требует

$P^{ \prime}(r) = \frac{4}{r_{1}^{3} } \left (2r - \frac{2r^{2} }{r_{1} } \right ) e^{ -2r/r_{1} } = 0$

или $r = r_{1} = r_{pr}$

(б) Кулоновская сила определяется выражением $- e^{2} / r^{2}$, среднее значение ее модуля равно

$\langle F \rangle = \int_{0}^{ \infty} 2 \pi r^{2} \frac{1}{ \pi r_{1}^{3} } e^{ -2r/r_{1} } \frac{e^{2} }{r^{2} } dr = \int_{0}^{ \infty} \frac{4e^{2} }{r_{1}^{3} } e^{ - 2r / r_{1} } dr = \frac{2e^{2} }{r_{1}^{2} } \int_{0}^{ \infty} e^{ - x} dx = \frac{2e^{2} }{r_{1}^{2} }$

В единицах СИ $(e^{2} / 4 \pi \epsilon_{0} )$ для $e^{2}$

(в) $\langle U \rangle = \int_{0}^{ \infty} 4 \pi r^{2} \frac{1}{ \pi r_{1}^{3} } e^{ - 2 /r_{3} } \frac{-e^{2} }{r} dr = - \frac{e^{2} }{r_{1} } \int_{0}^{ \infty} xe^{-x} dx = - \frac{e^{2} }{r_{1} }$

В единицах СИ ($e^{2} / 4 \pi \epsilon_{0}$) для $e^{2}$.