2016-09-08
Железный кубик со стороной $a$ подвешен на пружине жёсткостью $k$. В начальный момент кубик касается нижней горизонтальной гранью поверхности воды в сосуде. В сосуд начинают медленно доливать воду так, что её уровень поднимается со скоростью $V_{1}$. С какой скоростью $V_{2}$ относительно сосуда будет при этом двигаться кубик? Плотность воды равна $\rho$, ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
При медленном повышении уровня воды в сосуде можно считать, что в любой момент времени кубик находится в равновесии. Учитывая, что на кубик действуют силы тяжести $m \vec{g}$, упругости $\vec{F}_{упр}$ и Архимеда $\vec{F}_{A}$ , запишем условие равновесия кубика:
$F_{упр} + F_{A} = mg$.
За время $\Delta t$ пружина станет короче на $V_{2} \Delta t$, а объём погруженной в воду части кубика увеличится на $(V_{1} — V_{2}) \Delta t a^{2}$. Поэтому сила упругости изменится на $\Delta F_{упр} = — kV_{2} \Delta t$, а сила Архимеда — на $\Delta F_{A} = (V_{1} — V_{2}) \Delta ta^{2} \rho g$. Учитывая, что $\Delta F_{упр} + \Delta F_{A} = 0$, получим после преобразований
$V_{2} = V_{1} \frac{ \rho ga^{2}}{ \rho ga^{2} + k}$.
С такой скоростью кубик будет «всплывать», пока он целиком не окажется под водой, то есть при $t \leq \frac{a}{V_{1}-V_{2}} = \frac{a}{V_{1}} \left ( 1 +\frac{ \rho ga^{2}}{k} \right )$. При дальнейшем заполнении сосуда водой скорость кубика будет равна нулю.