ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Частица массы $m$ находится в сферически-симметричной потенциальной яме $U(r) = 0$ при $r < r_{0}$ и $U(r) = U_{0}$ при $r > r_{0}$.
а) Найти с помощью подстановки $\psi(r) = \xi (r)/r$ уравнение, определяющее собственные значения энергии $E$ частицы при $E < U_{0}$, когда движение описывается волновой функцией $\psi(r)$, зависящей только от $r$. Привести это уравнение к виду

$\sin kr_{0} = \pm kr_{0} \sqrt{ \hbar^{2} /2mr_{0}^{2}U_{} }$, где $k = \sqrt{2mE}/h$.

б) Определить значение величины $r_{0}^{2}U_{0}$, при котором появляется первый уровень.


Решение:


Если подставить $\psi = \frac{ \xi(r) }{r}$
уравнение для $\xi(r)$ имеет вид

$\xi^{ \prime \prime} + \frac{2m}{ \hbar} (E - U(r)) \xi (r) = 0$

которые могут быть записаны как $\xi^{ \prime \prime} + k^{2} \xi = 0, 0 \leq r < r_{0}$

и $\xi^{ \prime \prime} - \alpha^{2} \xi = 0, r_{0} < r < \infty$

где $k^{2} = \frac{2mE}{ \hbar^{2} }, \alpha^{2} = \frac{2m(U_{0} -E ) }{ \hbar^{2} }$

Граничное условие

$\begin{cases} \xi(0) = 0 \\ и \: \xi, \xi^{ \prime} \: непрерывны \: при \: r = r_{0} \end{cases}$

Они точно такие же, как и в одномерной задаче 8535. Поэтому мы опускаем дальнейшие подробности