Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8538
2018-07-04 
Имея в виду условия предыдущей задачи, найти:
а) нормированные собственные функции частицы в состояниях, где $\psi(r)$ зависит только от $r$;
б) для основного состояния частицы наиболее вероятное значение $r_{вер}$, а также вероятность нахождения частицы в области $r < r_{вер}$.
Решение:
(a) Нормализированные волновые функции получаются из
$1 = \int | \psi|^{2} dV = \int | \psi |^{2} 4 \pi r^{2} dr = \int_{r}^{r_{0} } A^{2} 4 \pi \xi^{2} dr = 2 \pi A^{2} \int_{0}^{r_{0} } \sin^{2} \frac{ n \pi r}{r_{0} } dr = 4 \pi A^{2} \frac{r_{0} }{n \pi} \int_{0}^{n \pi} \sin^{2} x dr = 4 \pi A^{2} \frac{r_{0} }{n \pi} \frac{n \pi}{2} = r_{0} 2 \pi A^{2}$
Следовательно $A = \frac{1}{ \sqrt{ 2 \pi r_{0} } }$ и $\psi = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi r_{0} } } \frac{ \sin \frac{n \pi r}{r_{0} } }{r}$
(б) Функция распределения радиальных вероятностей
$P_{n}(r) = 4 \pi r^{2} ( \psi)^{2} = \frac{2 }{r_{0} } \sin^{2} \frac{n \pi r}{r_{0} }$
Для основного состояния $n = 1$
Итак $P_{1}(r) = \frac{2}{r_{0} } \sin^{2} \frac{ \pi r}{r_{0} }$
По проверке это максимум при $r = \frac{r_{0} }{2}$. Таким образом, $r_{вер} = \frac{r_{0} }{2}$
Вероятность нахождения частицы в области $r < r_{вер}$ составляет, очевидно, 50%, как можно сразу увидеть из графика $\sin^{2} x$.
Имея в виду условия предыдущей задачи, найти:
а) нормированные собственные функции частицы в состояниях, где $\psi(r)$ зависит только от $r$;
б) для основного состояния частицы наиболее вероятное значение $r_{вер}$, а также вероятность нахождения частицы в области $r < r_{вер}$.
Решение:
(a) Нормализированные волновые функции получаются из
$1 = \int | \psi|^{2} dV = \int | \psi |^{2} 4 \pi r^{2} dr = \int_{r}^{r_{0} } A^{2} 4 \pi \xi^{2} dr = 2 \pi A^{2} \int_{0}^{r_{0} } \sin^{2} \frac{ n \pi r}{r_{0} } dr = 4 \pi A^{2} \frac{r_{0} }{n \pi} \int_{0}^{n \pi} \sin^{2} x dr = 4 \pi A^{2} \frac{r_{0} }{n \pi} \frac{n \pi}{2} = r_{0} 2 \pi A^{2}$
Следовательно $A = \frac{1}{ \sqrt{ 2 \pi r_{0} } }$ и $\psi = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi r_{0} } } \frac{ \sin \frac{n \pi r}{r_{0} } }{r}$
(б) Функция распределения радиальных вероятностей
$P_{n}(r) = 4 \pi r^{2} ( \psi)^{2} = \frac{2 }{r_{0} } \sin^{2} \frac{n \pi r}{r_{0} }$
Для основного состояния $n = 1$
Итак $P_{1}(r) = \frac{2}{r_{0} } \sin^{2} \frac{ \pi r}{r_{0} }$
По проверке это максимум при $r = \frac{r_{0} }{2}$. Таким образом, $r_{вер} = \frac{r_{0} }{2}$
Вероятность нахождения частицы в области $r < r_{вер}$ составляет, очевидно, 50%, как можно сразу увидеть из графика $\sin^{2} x$.
