Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8536
2018-07-04 
Воспользовавшись решением предыдущей задачи, определить вероятность нахождения частицы с энергией $E = U_{0}/2$ в области $x > l$, если $l^{2}U_{0} = (3/4 \pi)^{2} \hbar^{2} /m$.
Решение:
$U_{0}l^{2} = \left ( \frac{3}{4} \pi \right )^{2} \frac{ \hbar^{2} }{m}$
и $El^{2} = \left ( \frac{3}{4} \pi \right )^{2} \frac{ \hbar^{2} }{2m}$
или $kl = \frac{3}{4} \pi$
Легко проверить, что условие связанного состояния выполнено. Также
$\alpha l = \sqrt{ \frac{2m}{ \hbar^{2} } (U_{0} - E ) l^{2} } = \sqrt{ \frac{mU_{0} }{ \hbar^{2} } l^{2} } = \frac{3}{4} \pi$
Тогда из задачи 8535
$D = Ae^{ \alpha l} \sin kl = A \frac{e^{3 \pi /4} }{ \sqrt{2} }$
По нормализации
$I = A^{2} \left ( \int_{0}^{l} \sin^{2} kx dx + \int_{l}^{ \infty} \frac{e^{3 \pi /2} }{2} e^{ - (3 \pi /2) x/l } dx \right ) = A^{2} \left ( \frac{1}{2} \int_{0}^{l} (1 - \cos 2kx) dx + l \int_{l}^{ \infty} \frac{1}{2} e^{ - \frac{3 \pi}{2} y} dy \right ) = A^{2} \left ( \frac{1}{2} \left ( - \frac{ - \sin 2kl}{2k} \right ) + \frac{1}{2} \frac{ \frac{l}{3 \pi} }{2} \right ) = A^{2}l \left ( \frac{1}{2} \left ( 1 + \frac{ \frac{1}{3 \pi} }{2} \right ) + \frac{1}{2} \frac{ \frac{1}{3 \pi} }{2} \right ) = A^{2}l \left ( \frac{1}{2} + \frac{2}{3 \pi} \right ) = A^{2} \frac{l}{2} \left ( 1 + \frac{4}{3 \pi} \right )$
или $A = \sqrt{ \frac{2}{l} } \left (1 + \frac{4}{3 \pi} \right )^{-1/2}$
Вероятность нахождения частицы в области $x > l$ равна
$P = \int_{l}^{ \infty} \psi^{2} dx = \frac{2}{l} \left ( 1 + \frac{4}{3 \pi} \right )^{-2} \int_{l}^{ \infty} \frac{e^{ 3 \pi /2 } }{2} e^{ - \frac{3 \pi}{2} \frac{x}{l} } dx = \left (1 + \frac{4}{3 \pi} \right )^{-1} \int_{l}^{ \infty} e^{3 \pi /2} e^{ -(3 \pi / 2) y } dy = \frac{2}{3 \pi} \frac{3 \pi}{3 \pi + 4} = 14,9$ %
Воспользовавшись решением предыдущей задачи, определить вероятность нахождения частицы с энергией $E = U_{0}/2$ в области $x > l$, если $l^{2}U_{0} = (3/4 \pi)^{2} \hbar^{2} /m$.
Решение:
$U_{0}l^{2} = \left ( \frac{3}{4} \pi \right )^{2} \frac{ \hbar^{2} }{m}$
и $El^{2} = \left ( \frac{3}{4} \pi \right )^{2} \frac{ \hbar^{2} }{2m}$
или $kl = \frac{3}{4} \pi$
Легко проверить, что условие связанного состояния выполнено. Также
$\alpha l = \sqrt{ \frac{2m}{ \hbar^{2} } (U_{0} - E ) l^{2} } = \sqrt{ \frac{mU_{0} }{ \hbar^{2} } l^{2} } = \frac{3}{4} \pi$
Тогда из задачи 8535
$D = Ae^{ \alpha l} \sin kl = A \frac{e^{3 \pi /4} }{ \sqrt{2} }$
По нормализации
$I = A^{2} \left ( \int_{0}^{l} \sin^{2} kx dx + \int_{l}^{ \infty} \frac{e^{3 \pi /2} }{2} e^{ - (3 \pi /2) x/l } dx \right ) = A^{2} \left ( \frac{1}{2} \int_{0}^{l} (1 - \cos 2kx) dx + l \int_{l}^{ \infty} \frac{1}{2} e^{ - \frac{3 \pi}{2} y} dy \right ) = A^{2} \left ( \frac{1}{2} \left ( - \frac{ - \sin 2kl}{2k} \right ) + \frac{1}{2} \frac{ \frac{l}{3 \pi} }{2} \right ) = A^{2}l \left ( \frac{1}{2} \left ( 1 + \frac{ \frac{1}{3 \pi} }{2} \right ) + \frac{1}{2} \frac{ \frac{1}{3 \pi} }{2} \right ) = A^{2}l \left ( \frac{1}{2} + \frac{2}{3 \pi} \right ) = A^{2} \frac{l}{2} \left ( 1 + \frac{4}{3 \pi} \right )$
или $A = \sqrt{ \frac{2}{l} } \left (1 + \frac{4}{3 \pi} \right )^{-1/2}$
Вероятность нахождения частицы в области $x > l$ равна
$P = \int_{l}^{ \infty} \psi^{2} dx = \frac{2}{l} \left ( 1 + \frac{4}{3 \pi} \right )^{-2} \int_{l}^{ \infty} \frac{e^{ 3 \pi /2 } }{2} e^{ - \frac{3 \pi}{2} \frac{x}{l} } dx = \left (1 + \frac{4}{3 \pi} \right )^{-1} \int_{l}^{ \infty} e^{3 \pi /2} e^{ -(3 \pi / 2) y } dy = \frac{2}{3 \pi} \frac{3 \pi}{3 \pi + 4} = 14,9$ %
