ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Показать с помощью уравнения Шрёдингера, что в точке, где потенциальная энергия частицы $U(x)$ имеет конечный разрыв, волновая функция остается гладкой, т. е. ее первая производная по координате непрерывна.


Решение:


Для определенности можно считать, что разрыв происходит в точке $x = 0$. Теперь уравнение Шредингера

$- \frac{ \hbar^{2} }{2m} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2} } + U(x) \psi(x) + E \psi(x)$

Интегрируем это уравнение около $x = 0$, т.е. от $x = - \epsilon_{1}$ до $x = + \epsilon_{2}$, где $\epsilon_{1} , \epsilon_{2}$ малы положительные числа. Тогда

$- \frac{ \hbar^{2} }{2m} \int_{ - \epsilon_{1} }^{ \epsilon_{2} } \frac{d^{2} \psi }{dx^{2} } dx = \int_{ - \epsilon_{1} }^{+ \epsilon_{2} } ( E - U(x) \psi (x) )dx$

или $\left ( \frac{d \psi}{dx} \right )_{+ \epsilon_{2} } - \left ( \frac{d \psi}{dx} \right )_{ - \epsilon_{1} } = - \frac{2m}{ \hbar^{2} } \int_{ - \epsilon_{1} }^{ \epsilon_{2} } (E - U(x) )dx \psi(x)$

Так как потенциал и энергия $E$ конечны, а $\psi (x)$ ограничено по предположению, то интеграл справа существует и $\rightarrow 0$ при $\epsilon_{1} , \epsilon_{2} \rightarrow 0$

Таким образом $\left ( \frac{d \psi}{dx} \right )_{+ \epsilon_{2} } = \left ( \frac{d \psi}{dx} \right )_{ - \epsilon_{1} }$ при $\epsilon_{1} , \epsilon_{2} \rightarrow 0$

Так как $\left ( \frac{d \psi}{dx} \right )$ непрерывна при $x = 0$ (точка, где $U (x)$ имеет конечный скачок разрыва).