ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Частица массы $m$ находится в трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Сторона куба равна $a$. Найти:
а) собственные значения энергии частицы;
б) разность энергий 3-го и 4-го уровней;
в) энергию 6-го уровня и соответствующее ему число состояний (кратность вырождения).


Решение:


Мы действуем так же, как и в задаче 8531. Волновая функция выбирается в виде

$\psi(x, y, z) = A \sin k_{1}x \sin k_{2}y \sin k_{3}z$.

(Частица находится в одном углу ямы, а оси координат - по краям.) Граничные условия заключаются в том, что $\psi = 0$ для

$x = 0, x = a, y = 0, y = a, z = 0, z = a$

Это дает

$k_{1} = \frac{n_{1} \pi }{a}, k_{2} = \frac{n_{2} \pi }{a}, k_{3} = \frac{n_{3} \pi}{a}$

Собственные значения энергии

$E(n_{1} , n_{2}, n_{3}) = \frac{ \pi_{2} \hbar^{2} }{2ma^{2} } (n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3} )$

Первый уровень (1, 1, 1). Второй имеет (1, 1, 2), (1, 2, 1) & (2, 1, 1). Третий уровень - (1, 2, 2) или (2, 1, 2) или (2, 2, 1). Его энергия -

$\frac{9 \pi^{2} \hbar^{2}}{2ma^{2} }$

Четвертый уровень энергии равен (1, 1, 3) или (1, 3, 1) или (3, 1, 1)

Его энергия $E = \frac{11 \pi^{2} \hbar^{2} }{2ma^{2} }$.

(б) Таким образом

$\Delta = E_{4} - E_{3} = \frac{ \hbar^{2} \pi^{2} }{ma^{2} }$.

(в) пятый уровень - (2, 2, 2). Шестой уровень (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1 )

Его энергия -

$\frac{7 \hbar^{2} \pi^{2} }{ma^{2} }$

и его степень вырождения равна 6 (шесть).