ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Частица массы $m$ находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти:
а) возможные значения энергии частицы, если стороны ямы равны $l_{1}$ и $l_{2}$;
б) значения энергии частицы на первых четырех уровнях, если яма квадратная со стороной $l$.


Решение:


(а) Здесь уравнение Шредингера

$- \frac{ \hbar^{2} }{2m} \left ( \frac{ \partial^{2} }{ \partial x^{2} } + \frac{ \partial^{2} }{ \partial y^{2} } \right ) \psi = E \psi$

мы берем начало координат в одном из углов прямоугольника, где может находится частица. Тогда волновая функция должна обращаться в нуль для

$x = 0$ или $x = l_{1}$

или $y = 0$ или $y = l_{2}$.

мы ищем решение в виде

$\psi = A \sin k_{1}x \sin k_{2}y$

Косинусы не допускаются граничным условием. Тогда

$k_{1} = \frac{n_{i} \pi }{l_{1} }, k_{2} = n_{2} \frac{ \pi}{l_{2} }$

и $E = \frac{k_{1}^{2} + k_{2}^{2} }{2m} \hbar^{2} = \frac{ \pi^{2} \hbar^{2} }{2m} \left ( \frac{n_{1}^{2} }{l_{1}^{2} } + \frac{n_{2}^{2} }{l_{2}^{2} } \right )$

Здесь $n_{1}, n_{2}$ - отличные от нуля целые числа.

(б) Если $l_{1} = l_{2} = l$ то

$\frac{E}{ \hbar^{2} / ml^{2} } = \frac{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} }{2} \pi^{2}$

1 уровень:

$n_{1} = n_{2} = 1 \rightarrow \pi^{2} = 9,87$

2-й уровень:

$\begin{cases} n_{1} = 1, n_{2} = 2 \\ n_{1} = 2, n_{2} = 1 \end{cases} \rightarrow \frac{5}{2} \pi^{2} = 24,7$

3-й уровень:

$n_{1} = 2 = n_{2} = 2 \rightarrow 4 \pi^{2} = 39,5$

4-й уровень

$\begin{cases} n_{1} = 1, n_{2} = 3 \\ n_{1} = 3, n_{2} = 1 \end{cases} \rightarrow 5 \pi^{2} = 49,3$