ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы $l$ такова, что энергетические уровни расположены весьма густо. Найти плотность уровней $dN/dE$, т. е. их число на единичный интервал энергии, в зависимости от $E$. Вычислить $dN/dE$ для $E = 1,0 эВ$, если $l = 1,0 см$.


Решение:


Мы обнаружили, что

$E_{n} = \frac{n^{2} \pi^{2} \hbar^{2} }{ 2ml^{2} }$

Пусть $N(E)$ - число состояний до $E$. Это число равно $n$. Число состояний до $E + dE$ равно $N (E + dE) = N (E) + dN (E)$. Тогда $dN (E) = 1$ и

$\frac{dN(E)}{dE} = \frac{1}{ \Delta E}$

где $\Delta E$ - разность энергий между n-м $(n + 1)$-м уровнем

$= \frac{(n + 1)^{2} - n^{2} }{2ml^{2} } \pi^{2} \hbar^{2} = \frac{2n + 1}{2ml^{2} } \pi^{2} \hbar^{2} \approx \frac{ \pi^{2} \hbar^{2} }{2ml^{2} } 2n$, (пренебрегая $1 \ll n$)
$= \frac{ \pi^{2} \hbar^{2} }{2ml^{2} } \sqrt{ \frac{2ml^{2} }{ \pi^{2} \hbar^{2} } } \sqrt{E} \cdot 2 = \frac{ \pi \hbar}{l} \sqrt{ \frac{2}{m} } \sqrt{E}$

Таким образом $\frac{dN(E)}{dE} = \frac{l}{ \pi \hbar} \sqrt{ \frac{m}{2E} }$.

Для данного случая это дает $\frac{dN(E) }{dE} = 0,816 \cdot 10^{7}$ уровней на эВ