Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8529
2018-07-04 
Доказать, что волновые функции стационарных состояний частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками являются ортогональными, т. е. удовлетворяют условию $\int_{0}^{l} \psi_{n} \psi_{n^{ \prime} } dx = 0$, если $n^{ \prime} neq n$. Здесь $l$ — ширина ямы, $n$ — целые числа.
Решение:
Волновая функция приведена в задаче 8527. Мы видим, что
$\int_{0}^{l} \psi_{n}(x) \psi_{n^{ \prime} } dx = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} \sin \frac{ n \pi x}{l} \sin \frac{n^{ \prime} \pi x }{l} dx = \frac{1}{l} \int_{0}^{l} \left ( \cos( n - n^{ \prime} ) \frac{ \pi x}{l} - \cos (n + n^{ \prime} ) \frac{ \pi x}{l} \right ) dx = \frac{1}{l} \left ( \frac{ \sin(n - n^{ \prime} \frac{ \pi x}{l} ) }{(n - n^{ \prime} ) \frac{ \pi}{l} } - \frac{ \sin( n + n^{ \prime} ) \frac{ \pi x}{l} }{(n + n^{ \prime} ) \frac{ \pi x}{l} } \right )_{0}^{l} e$.
Если $n \neq n^{ \prime}$, выражение равно нулю, когда $n$ и $n^{ \prime}$ - целые числа.
Доказать, что волновые функции стационарных состояний частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками являются ортогональными, т. е. удовлетворяют условию $\int_{0}^{l} \psi_{n} \psi_{n^{ \prime} } dx = 0$, если $n^{ \prime} neq n$. Здесь $l$ — ширина ямы, $n$ — целые числа.
Решение:
Волновая функция приведена в задаче 8527. Мы видим, что
$\int_{0}^{l} \psi_{n}(x) \psi_{n^{ \prime} } dx = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} \sin \frac{ n \pi x}{l} \sin \frac{n^{ \prime} \pi x }{l} dx = \frac{1}{l} \int_{0}^{l} \left ( \cos( n - n^{ \prime} ) \frac{ \pi x}{l} - \cos (n + n^{ \prime} ) \frac{ \pi x}{l} \right ) dx = \frac{1}{l} \left ( \frac{ \sin(n - n^{ \prime} \frac{ \pi x}{l} ) }{(n - n^{ \prime} ) \frac{ \pi}{l} } - \frac{ \sin( n + n^{ \prime} ) \frac{ \pi x}{l} }{(n + n^{ \prime} ) \frac{ \pi x}{l} } \right )_{0}^{l} e$.
Если $n \neq n^{ \prime}$, выражение равно нулю, когда $n$ и $n^{ \prime}$ - целые числа.
