ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна $l$. Найти нормированные волновые функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчета координаты $x$ в середине ямы.


Решение:


$- \frac{l}{2} \leq x \leq \frac{l}{2}$. Имеем

$\psi(x) = B \cos \frac{ \sqrt{2mE} x }{ \hbar} + A \sin \frac{ \sqrt{2mE}x }{ \hbar}$

Тогда граничное условие $\psi \left ( \pm \frac{l}{2} \right ) = 0$

дает $B \cos \frac{ \sqrt{2mE} l }{2 \hbar} \pm A \sin \frac{ \sqrt{2mE} l }{2 \hbar} =0 $

Есть два случая.

(1) $A = 0, \frac{ \sqrt{2mE}l }{2 \hbar} = n \pi + \frac{ \pi}{2}$

дает решение

$\sqrt{2mE} = (2n + 1) \frac{ \pi \hbar}{l}$

и $E_{n} = (2n + 1)^{2} \frac{ \pi^{2} \hbar^{2} }{2ml^{2} }$

$\psi_{n}^{e} (x) = \sqrt{ \frac{2}{l} } \cos(2n + 1) \frac{ \pi x}{l}$
$n = 0,1,2,3, \cdots$

Это решение верно при $x \rightarrow - x$.

(2) $B = 0$,

$\frac{ \sqrt{2mE} l }{2 \hbar} = n \pi, n = 1,2, \cdots$
$E_{n} = (2n \pi)^{2} \frac{ \hbar^{2} }{2ml^{2} }$
$\psi_{n}^{0} = \sqrt{ \frac{2}{l} } \sin \frac{2n \pi x}{l}, n = 1,2, \cdots$ Это решение при нечетных.