Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8527
2018-07-04 
Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины $l$ с абсолютно непроницаемыми стенками ($0 < x < l$). Найти вероятность пребывания частицы в области $1/3 l \leq x \leq 2/3l$.
Решение:
Ищем решение уравнения Шредингера.
$- \frac{ \hbar^{2} }{2m} \frac{d^{2} \psi}{ dx^{2} } = E \phi, 0 \leq x \leq l$ (1)
Граничное условие непроницаемых стенок означает
$\psi (x) = 0$ для $x = 0$ и $x = l$
(поскольку $\psi (x) = 0$ и $x < 0$ и $x > l$,)
Решение (1)
$\psi(x) = A \sin \frac{ \sqrt{2mE} }{ \hbar} x + B \cos \frac{ \sqrt{2mE} }{ \hbar} x$
Тогда $\psi = 0 \Rightarrow B = 0$
$\psi(l) = 0 \Rightarrow A \sin \frac{ \sqrt{2mE} }{ \hbar} l = 0$
$A \neq 0$ следовательно
$\frac{ \sqrt{2mE}}{ \hbar} l = n \pi$
Отсюда $E_{n} = \frac{n^{2} \pi^{2} \hbar^{2} }{2ml^{2} }, n = 1,2,3, \cdots$
Таким образом, волновая функция основного состояния
$\psi(x) = A \sin \frac{ \pi x}{l}$.
Мы оцениваем $A$ путем нормализации
$1 = A^{2} \int_{0}^{l} \sin^{2} \frac{ \pi x}{l} dx = A^{2} \frac{l}{ \pi} \int_{0}^{ \pi} \sin^{2} \theta d \theta = A^{2} \frac{l}{ \pi} \frac{ \pi}{2}$
Таким образом $A = \sqrt{ \frac{2}{l} }$
Наконец, вероятность P для частицы, лежащей в $\frac{l}{2} \leq x \leq \frac{2l}{3}$ равна
$P = P \left ( \frac{l}{3} \leq x \leq \frac{2l}{3} \right ) = \frac{2}{l} \int_{l/3}^{2l/3} \sin^{2} \frac{ \pi x}{l} dx = \frac{2}{ \pi} \int_{ \pi /3}^{ 2 \pi /3} \sin^{2} \theta d \theta = \frac{1}{ \pi} \int_{ \pi /3}^{2 \pi /3} (1 - \cos 2 \theta) d \theta = \frac{1}{ \pi} \left ( \theta - \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right )_{ \pi /3}^{2 \pi /3} = \frac{1}{ \pi} = \frac{1}{ \pi} \left ( \frac{2 \pi}{3} - \frac{ \pi}{3} - \frac{1}{2} \sin \frac{4 \pi}{3} + \frac{1}{2} \sin \frac{2 \pi }{3} \right ) = \frac{1}{ \pi} \left ( \frac{ \pi}{3} + \frac{1}{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} \right ) = \frac{1}{3} + \frac{ \sqrt{3} }{2 \pi} = 0,609$
Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины $l$ с абсолютно непроницаемыми стенками ($0 < x < l$). Найти вероятность пребывания частицы в области $1/3 l \leq x \leq 2/3l$.
Решение:
Ищем решение уравнения Шредингера.
$- \frac{ \hbar^{2} }{2m} \frac{d^{2} \psi}{ dx^{2} } = E \phi, 0 \leq x \leq l$ (1)
Граничное условие непроницаемых стенок означает
$\psi (x) = 0$ для $x = 0$ и $x = l$
(поскольку $\psi (x) = 0$ и $x < 0$ и $x > l$,)
Решение (1)
$\psi(x) = A \sin \frac{ \sqrt{2mE} }{ \hbar} x + B \cos \frac{ \sqrt{2mE} }{ \hbar} x$
Тогда $\psi = 0 \Rightarrow B = 0$
$\psi(l) = 0 \Rightarrow A \sin \frac{ \sqrt{2mE} }{ \hbar} l = 0$
$A \neq 0$ следовательно
$\frac{ \sqrt{2mE}}{ \hbar} l = n \pi$
Отсюда $E_{n} = \frac{n^{2} \pi^{2} \hbar^{2} }{2ml^{2} }, n = 1,2,3, \cdots$
Таким образом, волновая функция основного состояния
$\psi(x) = A \sin \frac{ \pi x}{l}$.
Мы оцениваем $A$ путем нормализации
$1 = A^{2} \int_{0}^{l} \sin^{2} \frac{ \pi x}{l} dx = A^{2} \frac{l}{ \pi} \int_{0}^{ \pi} \sin^{2} \theta d \theta = A^{2} \frac{l}{ \pi} \frac{ \pi}{2}$
Таким образом $A = \sqrt{ \frac{2}{l} }$
Наконец, вероятность P для частицы, лежащей в $\frac{l}{2} \leq x \leq \frac{2l}{3}$ равна
$P = P \left ( \frac{l}{3} \leq x \leq \frac{2l}{3} \right ) = \frac{2}{l} \int_{l/3}^{2l/3} \sin^{2} \frac{ \pi x}{l} dx = \frac{2}{ \pi} \int_{ \pi /3}^{ 2 \pi /3} \sin^{2} \theta d \theta = \frac{1}{ \pi} \int_{ \pi /3}^{2 \pi /3} (1 - \cos 2 \theta) d \theta = \frac{1}{ \pi} \left ( \theta - \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right )_{ \pi /3}^{2 \pi /3} = \frac{1}{ \pi} = \frac{1}{ \pi} \left ( \frac{2 \pi}{3} - \frac{ \pi}{3} - \frac{1}{2} \sin \frac{4 \pi}{3} + \frac{1}{2} \sin \frac{2 \pi }{3} \right ) = \frac{1}{ \pi} \left ( \frac{ \pi}{3} + \frac{1}{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} \right ) = \frac{1}{3} + \frac{ \sqrt{3} }{2 \pi} = 0,609$
