Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8526
2018-07-04 
Найти частное решение одномерного временного уравнения Шрёдингера для свободно движущейся частицы массы $m$.
Решение:
Уравнение Шредингера в одном измерении для свободной частицы
$i \hbar \frac{ \partial \psi }{ \partial t} = - \frac{ \hbar^{2} }{2m} \frac{ \partial^{2} \psi }{ \partial x^{2} }$
запишем $\psi (x, t) = \phi (x) \xi (t)$. Тогда
$\frac{i \hbar}{ \xi} \frac{d \xi}{dt} = - \frac{ \hbar^{2} }{2m} \frac{1}{ \phi} \frac{d^{2} \phi }{dx^{2} } = E$,
Тогда $\xi(t) \sin e^{ - \frac{i Et}{h} }$
$\phi \sin e^{i \frac{ \sqrt{2mE} }{ \hbar} x }$
$E$ должно быть вещественным и положительным, если $\phi (x)$ должно быть ограничено всюду. Следовательно
$\psi( x, t) = const e^{ \frac{i}{ \hbar} ( \sqrt{2mE} x - Et ) }$
Это частное решение описывает плоские волны.
Найти частное решение одномерного временного уравнения Шрёдингера для свободно движущейся частицы массы $m$.
Решение:
Уравнение Шредингера в одном измерении для свободной частицы
$i \hbar \frac{ \partial \psi }{ \partial t} = - \frac{ \hbar^{2} }{2m} \frac{ \partial^{2} \psi }{ \partial x^{2} }$
запишем $\psi (x, t) = \phi (x) \xi (t)$. Тогда
$\frac{i \hbar}{ \xi} \frac{d \xi}{dt} = - \frac{ \hbar^{2} }{2m} \frac{1}{ \phi} \frac{d^{2} \phi }{dx^{2} } = E$,
Тогда $\xi(t) \sin e^{ - \frac{i Et}{h} }$
$\phi \sin e^{i \frac{ \sqrt{2mE} }{ \hbar} x }$
$E$ должно быть вещественным и положительным, если $\phi (x)$ должно быть ограничено всюду. Следовательно
$\psi( x, t) = const e^{ \frac{i}{ \hbar} ( \sqrt{2mE} x - Et ) }$
Это частное решение описывает плоские волны.
