Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8523
2018-07-04 
Частица массы $m$ движется в одномерном потенциальном поле $U = kx^{2}/2$ (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.
Решение:
Запишем
$p \sim \Delta p \sim \frac{ \hbar}{ \Delta x} \sin \frac{ \hbar}{x}$
т. е. все четыре величины имеют одинаковую величину порядка. Тогда
$E \approx \frac{ \hbar^{2} }{2mx^{2} } + \frac{1}{2} mx^{2} = \frac{1}{2m} \left ( \frac{ \hbar}{x} - \sqrt{mk} x \right )^{2} + \hbar \sqrt{ \frac{k}{m} }$
Таким образом, мы получаем ситуацию равновесия ($E$ = минимум), когда
$x = x_{0} = \sqrt{ \frac{ \hbar}{ \sqrt{mk} } }$
а тогда $E = E_{0} \sim \hbar \sqrt{ \frac{k}{m} } = \hbar \omega$
Квантовая механика дает
$E_{0} = \frac{ \hbar \omega}{2}$
Частица массы $m$ движется в одномерном потенциальном поле $U = kx^{2}/2$ (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.
Решение:
Запишем
$p \sim \Delta p \sim \frac{ \hbar}{ \Delta x} \sin \frac{ \hbar}{x}$
т. е. все четыре величины имеют одинаковую величину порядка. Тогда
$E \approx \frac{ \hbar^{2} }{2mx^{2} } + \frac{1}{2} mx^{2} = \frac{1}{2m} \left ( \frac{ \hbar}{x} - \sqrt{mk} x \right )^{2} + \hbar \sqrt{ \frac{k}{m} }$
Таким образом, мы получаем ситуацию равновесия ($E$ = минимум), когда
$x = x_{0} = \sqrt{ \frac{ \hbar}{ \sqrt{mk} } }$
а тогда $E = E_{0} \sim \hbar \sqrt{ \frac{k}{m} } = \hbar \omega$
Квантовая механика дает
$E_{0} = \frac{ \hbar \omega}{2}$
