ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Получить выражение для дебройлевской длины волны $\lambda$, релятивистской частицы, движущейся с кинетической энергией $T$. При каких значениях $T$ ошибка в определении $\lambda$, по нерелятивистской формуле не превышает 1% для электрона и протона?


Решение:


Для релятивистской частицы

$T + mc^{2} = полная \: энергия = \sqrt{c^{2}p^{2} + m^{2}c^{4} }$
$\sqrt{T(T + 2mc^{2} ) } = cp$

Следовательно $\lambda = \frac{2 \pi \hbar c}{ \sqrt{T(T + 2mc^{2} ) } } = \frac{2 \pi \hbar}{ \sqrt{2mT \left (1 + \frac{T}{2mc^{2} } \right ) } }$

Если мы будем использовать нерелятивистскую формулу,

$\lambda_{NR} = \frac{2 \pi \hbar}{ \sqrt{2mT} }$

Тогда $\frac{ \Delta \lambda}{ \lambda} = \frac{ \lambda_{NR} - \lambda }{ \lambda_{NR} } = \frac{T}{4mc^{2} }$

(Если $T/2 mc^{2} \ll 1$, мы можем написать $\left (1 + \frac{T}{2mc^{2} } \right )^{-1/2} \approx 1 - \frac{T}{4mc^{2} }$)

Таким образом, $T \leq \frac{4mc^{2} \Delta \lambda }{ \lambda}$ если ошибка меньше $\Delta \lambda$

Для электрона ошибка составляет не более 1%, если

$T \leq 4 \cdot 0,511 \cdot 0,01 МэВ \leq 20,4 кэВ$

Для протона ошибка составляет не более 1%, если

$T \leq 4 \cdot 938 \cdot 0,01 МэВ$

т. е. $T \leq 37,5 МэВ$.