ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длину волны молекул водорода, находящихся в термодинамическом равновесии при комнатной температуре.


Решение:


Чтобы найти наиболее вероятную длину волны де Бройля газа в термодинамическом равновесии, мы определяем распределение $\lambda$ соответствующее максвелловскому распределению скоростей.

$\psi ( \lambda ) d \lambda = - \Phi (v) dv$

(где знак минус учитывает тот факт, что $\lambda$ убывает с ростом $v$). Тогда

$\lambda = \frac{2 \pi \hbar}{mv}$ или $v = \frac{2 \pi \hbar}{m \lambda}$
$dv = - \frac{2 \pi \hbar}{m \lambda^{2} } d \lambda$

Таким образом $\Psi ( \lambda) = +A v^{2} e^{ - mv^{2} /2kT } \left ( - \frac{dv}{d \lambda} \right ) = A \left ( \frac{2 \pi \hbar}{m \lambda} \right )^{2} \left ( \frac{2 \pi \hbar}{m \lambda^{2} } \right ) e^{ - \frac{m}{2kT} \left ( \frac{2 \pi \hbar}{m \lambda} \right )^{2} } = const \cdot \lambda^{ - 4} e^{ -a / \lambda^{2} }$

где $a = \frac{2 \pi^{2} \hbar^{2} }{mkT }$

Оно максимально, когда $\psi^{ \prime}( \lambda) = 0 \psi ( \lambda ) \left ( \frac{-4}{ \lambda} + \frac{2a}{ \lambda^{3} } \right )$

или $\lambda_{pr} = \sqrt{a/2} = \frac{ \pi \hbar }{ \sqrt{mkT} }$

Используя результат задачи 8503

$\lambda_{pr} = \frac{126}{ \sqrt{2} } пм = 89,1 пм$.