ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Найти для атомов легкого и тяжелого водорода ($H$ и $D$) разность:
а) энергий связи их электронов в основном состоянии;
б) длин волн головных линий серии Лаймана.


Решение:


Разница между связывающими энергиями равна

$\Delta E_{b} = E_{b}(D) - E_{b}(H) = \Delta \frac{m}{1 + \frac{m}{M} } \frac{e^{4} }{2 \hbar^{2} } + \frac{m}{1 + \frac{m}{2M} } \frac{e^{4} }{2 \hbar^{2} } = \frac{me^{4} }{ 2 \hbar^{2} } \left ( \frac{m}{2M} \right )$

Подстановка дает $\Delta E_{b} = 3,7 мэВ$.
Для первой линии серии Лаймана:

$\frac{2 \pi \hbar c}{ \lambda} = \hbar R \left ( 1 - \frac{1}{4} \right ) = \frac{3}{4} \hbar R$

или $\lambda = \frac{8 \pi c}{3R} = \frac{8 \pi \hbar c}{3E_{b} }$

Следовательно

$\lambda_{H} - \lambda_{D} = \frac{8 \pi \hbar c}{3} \left ( \frac{1}{E_{b}(H) } - \frac{1}{E_{b}(D) } \right ) = \frac{8 \pi \hbar c}{3} \left ( \frac{me^{4} }{2 \hbar^{2} } \right )^{-1} \left (1 + \frac{m}{M} - 1 - \frac{m}{2M} \right ) = \frac{8 \pi \hbar c}{3 \left ( \frac{me^{4} }{2 \hbar^{2} } \right ) } \frac{m}{2M} = \frac{m}{2M} \lambda_{1}$

(где $\lambda_{1}$ - длина волны первой линии рядов Лаймана без учета ядерного движения).

Подстановка дает (см. задачу 8471 для $\lambda_{1}$) используя $\lambda_{1} = 121 нм$

$\Delta \lambda = 33 пм$