ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Найти с учетом движения ядра атома водорода выражения для энергии связи электрона в основном состоянии и для постоянной Ридберга. На сколько процентов отличается энергия связи и постоянная Ридберга, полученные без учета движения ядра, от соответствующих уточненных значений этих величин?


Решение:


Полная энергия H-атома в произвольной системе отсчета

$E = \frac{1}{2} m \vec{V}_{1}^{2} + \frac{1}{2} M \vec{V}_{2}^{2} - \frac{e^{2} }{ 4 \pi \epsilon_{0} | \vec{r}_{1} - \vec{r}_{2} | }$

Здесь $\vec{V}_{1} = \dot{ \vec{r}}_{1}, \vec{V}_{2} = \dot{ \vec{r}}_{2}, \vec{r}_{1}$ & $\vec{r}_{2}$ - координаты электрона и протонов. Определим

$\vec{R} = \frac{m \vec{r}_{1} + M \vec{r}_{2} }{M + M}$
$\vec{r} = \vec{r}_{1} - \vec{r}_{2}$

Тогда $\vec{V} = \frac{m \vec{V}_{1} + M \vec{V}_{2} }{m + M}$
$\vec{v} = \vec{V}_{1}- \vec{V}_{2}$

или $\vec{V}_{1} = \vec{V} + \frac{M}{m + M} \vec{v}$

и мы получаем $E = \frac{1}{2} (m + M) \vec{V}^{2} + \frac{1}{2} \frac{mM}{m + M} v^{2} - \frac{e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}r }$

В системе отсчета $\vec{V} = 0$ это сводится к энергии частицы с массой

$\mu = \frac{mM}{m + M}$

$\mu$ называется приведенной массой.

Тогда $E_{b} = \frac{ \mu e^{4} }{2 \hbar^{2} }$ и $R = \frac{ \mu e^{4} }{2 \hbar^{3} }$

поскольку $\mu = \frac{m}{1 + \frac{m}{M} } \approx m \left ( 1 - \frac{m}{M} \right )$

эти значения отличаются на $\frac{m}{M}( \approx 0,54$%) от полученных значений без учета ядерного движение. ($M = 1837 м$)